Часть третья. Вариант 3
Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий третьей части третьего варианта ГИА (ДПА) по математике для девятого класса за 2012 год.
Третья часть аттестационной работы состоит из трех заданий открытой формы с развернутым ответом. Решение заданий 3.1 — 3.3 должно содержать объяснения. В нем необходимо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. При необходимости решения иллюстрируются схемами, графиками, таблицами.
Задание 3.1
Катер проплыл 22 км по течению реки и 36 км против течения за время, необходимое для того, чтобы проплыть 6 км на плоту. Найти скорость течения, если собственная скорость катера равна 20 км/час.
Решение:
Пусть скорость течения реки равна $$x$$ км/час. Систематизируем данные задачи в виде таблицы.
Движение | $$s$$, км | $$v$$, км/час | $$t$$, час |
По течению | $$22$$ | $$20+x$$ | $$\frac{22}{20+x}$$ |
Против течения | $$36$$ | $$20-x$$ | $$\frac{36}{20-x}$$ |
Учитывая тот факт, что на плоту можно проплыть 6 км за $$\frac{6}{x}$$ часов, составим уравнение:
$$\frac{22}{20+x}+\frac{36}{20-x}=\frac{6}{x},\;0<x<20$$
Приведем к общему знаменателю
$$\frac{22x(20-x)+36x(20+x)-6(20+x)(20-x)}{x(20+x)(20-x)}=0$$
Рассмотрим отдельно числитель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые
$$20x^2+1160x-2400=0$$
$$x^2+58x-120=0$$
$$x_1=-60$$ (посторонний корень), $$x_2=2$$.
Значит, скорость течения реки равна 2 км/час.
Ответ: 2 км/час.
Задание 3.2
Составить квадратное уравнение, корни которого на три больше соответствующих корней уравнения $$x^2-2x-7=0.$$
Решение:
Так как оба корня нового квадратного уравнения должны быть на три больше корней исходного квадратного уравнения, то $$y=x+3$$. Подставим $$x=y-3$$ в исходное уравнение
$$(y-3)^2-2(y-3)-7=0$$
Применим формулу квадрата разности, раскроем скобки и приведем подобные
$$y^2+9-6y-2y+6-7=0\Rightarrow y^2-8y+8=0$$
Ответ: $$y^2-8y+8=0$$
Задание 3.3
Стороны треугольника равны 3 см и 5 см, а угол между ними $$120^{\circ}$$. Найти площадь подобного ему треугольника, периметр которого равен 30 см.
Решение:
Пусть $$ABC$$ – исходный треугольник, $$DEF$$ – подобный ему треугольник. $$AB=3$$ см, $$BC=5$$ см, $$\angle B=120^{\circ}$$.
Найдем третью сторону треугольника $$ABC$$ по теореме косинусов
$$AC^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cdot\cos120^{\circ}=9+25-30\cdot\left (-\frac{1}{2} \right )=49\Rightarrow AC=7$$ см.
При нахождении косинуса 120 градусов воспользовались таблицей значений тригонометрических функций некоторых углов.
Найдем периметр треугольника $$ABC$$
$$P_{ABC}=3+5+7=15$$ см
Так как периметр подобного треугольника равен 30 см, то коэффициент подобия равен
$$k=\frac{P_{DEF}}{P_{ABC}}=\frac{30}{15}=2$$.
Найдем площадь треугольника $$ABC$$
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin\angle B\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$$ см2.
$$\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=k^2=4$$
Тогда $$S_{DEF}=4\cdot S_{ABC}=15\sqrt{3}$$ см2.
Ответ:$$15\sqrt{3}$$ см2.
Источник: Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 9 кл. / О.С. Істер, О.І. Глобін, О.В. Комаренко. — 2-ге вид., доопрац. — К.: Центр навч.-метоод. л-ри, 2012. — 112 с.: іл.
ISBN 978-617-626-110-0.