Часть вторая. Вариант 1
Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий второй части первого варианта ГИА (ДПА) 2012 по математике для одиннадцатого класса.
Вторая часть аттестационной работы состоит из четырех заданий открытой формы с коротким ответом.
Задание 2.1
Решить уравнение $$4^x+2^{x+1}=80.$$
Решение:
Воспользуемся свойствами степеней
$$(2^2)^x+2\cdot2^x-80=0$$
$$(2^x)^2+2\cdot2^x-80=0$$
Замена $$2^x=t> 0$$
$$t^2+2t-80=0$$
По теореме Виета:
$$t_1=-10$$ (посторонний корень) и $$t_2=8$$
Обратная замена $$2^x=8\Rightarrow 2^x=2^3\Rightarrow x=3.$$
Ответ: 3.
Задание 2.2
В ящике лежит 12 белых и несколько черных шаров. Сколько черных шаров в ящике, если вероятность вынуть наугад черный шар равна $$\frac{2}{5}$$?
Решение:
По определению вероятности $$P(A)=\frac{m}{n}$$, где $$m$$ – число благоприятных исходов (количество черных шаров), $$n$$ – всех исходов (количество всех шаров). Тогда $$P(A)=\frac{m}{12+m}=\frac{2}{5}$$.
Из пропорции получим
$$5\cdot m=(12+m)\cdot2$$
$$5m-2m=24\Rightarrow 3m=24\Rightarrow m=8$$.
Ответ: 8.
Задание 2.3
Решить уравнение $$\sqrt{x}+2\sqrt[4]{x}-8=0.$$
Решение:
ОДЗ: $$x\geqslant 0$$.
Замена $$\sqrt[4]{x}=t\geqslant 0$$
$$t^2+2t-8=0$$
По теореме Виета:
$$t_1=-4$$ (посторонний корень), $$t_2=2$$.
Обратная замена $$\sqrt[4]{x}=2\Rightarrow x=2^4\Rightarrow x=16$$.
Ответ: 16.
Задание 2.4
Вершины квадрата со стороной 8 см принадлежат сфере. Найти площадь сферы, если расстояние от центра сферы к плоскости квадрата равно 2 см.
Решение:
Выполним построение. $$ABCD$$ – квадрат со стороной 8 см, находящийся на расстоянии $$OO_1=2$$ см от центра сферы.
Диагональ квадрата по теореме Пифагора равна: $$BD=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}$$ см. Тогда $$O_1D=\frac{1}{2}BD=4\sqrt{2}$$ см.
Из прямоугольного треугольника $$OO_1D\;(\angle OO_1D=90^{\circ})$$ по теореме Пифагора:
$$R=OD=\sqrt{OO_1^2+O_1D^2}=\sqrt{2^2+(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{36}=6$$ см.
Найдем площадь сферы:
$$S=4\pi R^2=4\pi\cdot6^2=144\pi$$ см2.
Ответ: $$144\pi$$ см2.
Источник: Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 11 кл. / О.С. Істер, О.І. Глобін, О.В. Комаренко. – К.: Центр навч.-метоод. л-ри, 2012.