Готовимся к ДПА и ЗНО по математике. Пройти онлайн тест пробного ЗНО и ознакомиться с решениями других тестовых заданий Вы можете по ссылкам: онлайн тест; решения заданий 1-4; 5-8; 9-12; 13-16; 17-20; 21; 22; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33.
Задание 23
У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед $$ABCDA_1B_1C_1D_1,$$ ребра $$AB,BC,BB_1$$ якого лежать на координатних осях (див. рисунок). Вершина $$D_1(4;8;12)$$ має координати $$(4;8;12).$$ До кожного початку речення доберіть його закінчення так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення:
1. Точка $$K(0;0;12)$$
2. Точка $$M(1;8;0)$$
3. Точка $$P(4;4;4)$$
4. Точка $$Q(0;4;6)$$
Закінчення речення:
А. належить грані $$AA_1D_1D.$$
Б. належить ребру $$CD.$$
В. належить діагоналі $$AC_1.$$
Г. належить діагоналі $$BC_1.$$
Д. збігається з точкою $$B_1.$$
Решение:
1. Точка $$K(0;0;12)$$ лежит на оси $$OZ$$ (т.к. $$x=0,\;y=0,\; z=12$$). Она совпадает с точкой $$B_1$$ (проекция точки $$D_1(4;8;12)$$ на ось $$OZ$$).
Получили соответствие 1 – Д.
2. Точка $$M(1;8;0)$$ лежит в плоскости $$XOY$$ ($$z=0$$). Так как $$x=1<4, \; y=8$$, то $$M(1;8;0)$$ лежит между точками $$C(0;8;0)$$ и $$D(4;8;0)$$, т.е. на ребре $$CD.$$
Получили соответствие 2 – Б.
3. Точка $$P(4;4;4)$$ принадлежит грани $$AA_1D_1D$$, т.к. $$x=4,\; y=4<8,\; z=4<12$$ [лежит между точками $$A(4;0;0)$$, $$A_1(4;0;12),$$ $$D_1(4;8;12)$$ и $$D(4;8;0)$$].
Получили соответствие 3 – А.
4. Точка $$Q(0;4;6)$$ лежит в плоскости $$YOZ$$ ($$x=0$$). Так как $$y=4<8,\; z=6<12$$, то $$Q(0;4;6)$$ лежит между точками $$B(0;0;0),$$ $$B_1(0;0;12),$$ $$C_1(0;8;12)$$ и $$C(0;8;0),$$ т.е. принадлежит грани $$BB_1C_1C.$$
Проверим, принадлежит ли точка $$Q(0;4;6)$$ диагонали $$BC_1.$$ Найдем уравнение прямой $$BC_1$$ (уравнение прямой через 2 фиксированные точки)
$$\frac{y-0}{8-0}=\frac{z-0}{12-0}\Rightarrow 8z=12y\Rightarrow z=\frac{3}{2}y$$ (воспользовались свойством пропорции).
Подставим координаты точки $$Q(0;4;6)$$ в полученное уравнение: $$6=\frac{3}{2}\cdot4\Rightarrow 6=6$$ – верно, значит $$Q(0;4;6)$$ принадлежит диагонали $$BC_1.$$
Получили соответствие 4 – Г.