В рамках подготовки к ДПА и ЗНО рассмотрим последние четыре тестовых задания (17-20) первого типа (выбор одного правильного ответа из пяти предложенных).
Предыдущие задания пробного ЗНО 2013 по математике: 1-4; 5-8; 9-12; 13-16.
С другими тестовыми заданиями ПЗНО Вы можете ознакомиться по ссылкам: 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33. Также советуем пройти бесплатный онлайн тест пробного ЗНО.
Задание 17
Спростіть вираз $$(1+\text{tg}^2\alpha)\cdot\sin^2\alpha.$$
А) $$\text{tg}^2\alpha$$
Б) 1
В) $$\cos^2\alpha\sin^2\alpha$$
Г) $$\cos^2\alpha$$
Д) $$\text{ctg}^2\alpha$$
Решение:
При решении будем использовать формулы связи между тригонометрическими функциями одного аргумента
$$(1+\text{tg}^2\alpha)\cdot\sin^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\cdot\sin^2\alpha=\left ( \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \right )^2=\text{tg}^2\alpha.$$
Ответ: А.
Задание 18
Дотична, проведена до графіка функції $$y=f(x)$$ в точці з абсцисою $$x_0$$, нахилена до додатного напряму осі $$Ox$$ під кутом $$45^{\circ}$$ (див. рисунок). Знайдіть $$f'(x_0).$$
А) $$-1$$
Б) $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$
В) $$\sqrt{3}$$
Г) $$1$$
Д) $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Решение:
Другими словами нам необходимо найти тангенс угла наклона касательной к графику функции (геометрический смысл производной)
$$\text{tg}\, 45^{\circ}=1$$
Ответ: Г.
Задание 19
Укажіть найменший додатний корінь рівняння $$\sin\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )=0$$.
А) $$\frac{\pi}{6}$$
Б) $$\frac{\pi}{2}$$
В) $$\frac{2\pi}{3}$$
Г) $$\pi$$
Д) $$\frac{5\pi}{3}$$
Решение:
$$\sin\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )=0$$ – частный случай простейшего тригонометрического уравнения
$$x+\frac{\pi}{3}=\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$
$$x=\pi k-\frac{\pi}{3},\;k\in\mathbb{Z}$$
По условию необходимо найти наименьший положительный корень
При $$k=1$$ как раз и получим такой корень
$$x=\pi-\frac{\pi}{3}\Rightarrow x=\frac{2\pi}{3}$$
Ответ: В.
Задание 20
На рисунку зображено графік квадратичної функції $$y=f(x)$$, який перетинає вісь $$Ox$$ в точках $$(1;0)$$ та $$(4;0)$$. Знайдіть множину всіх розв’язків нерівності $$x\cdot f(x)<0.$$
А) $$(0;1)\cup(4;\infty)$$
Б) $$(4;\infty)$$
В) $$(-\infty;1)\cup(4;\infty)$$
Г) $$(-\infty;0)\cup(1;4)$$
Д) $$(-\infty;0)$$
Решение:
Для построения графика произведения функций необходимо построить графики функций, входящих в произведение, и перемножить значения ординат, соответствующие одним и тем же значениям аргумента.
Построим графики функций $$y=f(x)$$ и $$y=x$$. Отметим знаком “$$+$$” те области, где произведение ординат положительно, и знаком “$$-$$” – отрицательное значение.
Таким образом решением неравенства $$x\cdot f(x)<0$$ будет множество $$x \in (0;1)\cup(4;\infty).$$
Ответ: А.