В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем Вам решение 33 задания открытого типа пробного тестирования внешнего независимого оценивания по математике.
Решение предыдущих заданий: 1-4; 5-8; 9-12; 13-16; 17-20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32.
Знайдіть найменше ціле значення параметра $$a,$$ при якому рівняння
$$\sqrt{x^2-5x}+\sqrt{x^2-9x+20}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{x-5}$$ має два корені.
Решение
Преобразуем левую часть. В первом подкоренном выражении вынесем общий множитель за скобки. Для второго используем формулу разложения квадратного трехчлена на множители, найдя его корни по теореме Виета.
$$\sqrt{x(x-5)}+\sqrt{(x-4)(x-5)}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{x-5}$$
ОДЗ:
$$\left\{\begin{matrix} x(x-5) & \geqslant & 0\\ (x-4)(x-5) & \geqslant & 0\\ x-5& \geqslant& 0\\ a& \geqslant & 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow x\geqslant5,\;a\geqslant0$$
Применим свойство корней (корень произведения)
$$\sqrt{x}\cdot\sqrt{x-5}+\sqrt{x-4}\cdot\sqrt{x-5}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{x-5}$$
Вынесем общий множитель за скобки
$$\sqrt{x-5}\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{x-4}-\sqrt{a})=0$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, значит
$$\sqrt{x-5}=0$$ или $$\sqrt{x}+\sqrt{x-4}-\sqrt{a}=0$$
$$x=5$$ или $$\sqrt{x}+\sqrt{x-4}=\sqrt{a}$$
$$x=5$$ является корнем уравнения и не зависит от параметра $$a$$
Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x}+\sqrt{x-4}=\sqrt{a}$$
Левая и права часть уравнения неотрицательны ($$\sqrt{}$$ $$\geqslant 0$$). Возведем в квадрат обе части уравнения
$$\left (\sqrt{x}+\sqrt{x-4} \right )^2=\left (\sqrt{a} \right )^2$$
Раскроем скобки, используя свойства корней и формулу квадрата суммы
$$x+x-4+2\sqrt{x(x-4)}=a$$
$$2\sqrt{x(x-4)}=a+4-2x$$
Левая часть неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной. Получили дополнительное условие $$a+4-2x\geqslant 0\Rightarrow x\leqslant \frac{a+4}{2}$$
C учетом ОДЗ
$$5\leqslant x\leqslant \frac{a+4}{2}\Rightarrow \frac{a+4}{2}\geq 5\Rightarrow a\geq 6$$
Возведем в квадрат обе части уравнения
$$\left (2\sqrt{x(x-4)} \right )^2=\left (a+4-2x \right )^2$$
$$4x(x-4)=(a+4)^2+4x^2-4x(a+4)$$
$$4x^2-16x=(a+4)^2+4x^2-16x-4ax$$
$$4ax=(a+4)^2$$
$$x=\frac{(a+4)^2}{4a}$$
Найдем наименьшее целое значение параметра, при котором найденный $$x$$ является корнем уравнения
$$\frac{(a+4)^2}{4a}\geqslant 5$$
$$\frac{(a+4)^2}{4a}-5\geqslant 0$$
$$\frac{(a+4)^2-20a}{4a}\geqslant 0$$
$$\frac{a^2+16+8a-20a}{4a}\geqslant 0$$
$$\frac{a^2-12a+16}{4a}\geqslant 0$$
$$a\geqslant 6\Rightarrow 4a>0\Rightarrow a^2-12a+16\geqslant 0$$
Рассмотрим $$a^2-12a+16=0$$
Найдем корни (воспользуемся формулой дискриминанта для четного коэффициента при первой степени)
$$D_1=36-16=20=2^2\cdot5$$
$$a_{1,2}=6\pm2\sqrt{5}$$
$$\left [a-(6-2\sqrt{5}) \right ]\cdot\left [a-(6+2\sqrt{5}) \right ]\geqslant 0$$
$$a\geqslant 6\Rightarrow a-(6-2\sqrt{5}) >0\Rightarrow a-(6+2\sqrt{5})\geqslant 0\Rightarrow a\geqslant 6+2\sqrt{5}$$
$$6+2\sqrt{5} \approx 10.47$$
Значит наименьшее целое значение параметра $$a=11$$, при котором исходное уравнение имеет два корня
$$x_1=5,\;x_2=\frac{(11+4)^2}{4\cdot11}=\frac{225}{44}=5\frac{5}{44}$$
Ответ: $$a=11.$$