Установите соответствие между телом вращения, заданным условием (1-4), и формулой (А-Д) для вычисления его объема $$V.$$
Условие
1. квадрат со стороной $$a$$ вращается вокруг прямой, проходящей через сторону этого квадрата (рис. 1)
2. прямоугольный равнобедренный треугольник с катетом $$a$$ вращается вокруг прямой, проходящей через катет этого треугольника (рис. 2)
3. прямоугольный равнобедренный треугольник с катетом $$a$$ вращается вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла этого треугольника перпендикулярно к одному из его катетов (рис. 3)
4. круг, радиус которого равен $$\frac{3}{4}a,$$ вращается вокруг прямой, проходящей через центр этого круга (рис. 4)
Формула
А. $$V=\frac{1}{3}\pi a^3$$
Б. $$V=\frac{9}{16}\pi a^3$$
В. $$V=\frac{2}{3}\pi a^3$$
Г. $$V=\pi a^3$$
Д. $$V=2\pi a^3$$
Решение
1. Первому условию соответствует цилиндр с высотой и радиусом, равными $$H=R=a.$$ $$V=\pi R^2 H=\pi a^3$$
Получили соответствие 1-Г.
2. Второму условию соответствует конус с $$H=R=a.$$ $$V=\frac{1}{3}\pi R^2 H=\frac{1}{3}\pi a^3$$
Получили соответствие 2-А.
3. В третьем из цилиндра “вырезали” конус. $$V=\pi a^3-\frac{1}{3}\pi a^3=\frac{2}{3}\pi a^3$$
Получили соответствие 3-В.
4. В четвертом получается сфера.
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi (\frac{3}{4}a)^3=\frac{9}{16}\pi a^3$$
Получили соответствие 4-Б.