30 задание ЗНО 2014

Решить неравенство $$\frac{10^x-16\cdot5^x}{x+2}\geqslant 0$$. В ответ запишите сумму всех целых решений неравенства на промежутке $$[-3; 6]$$.

Решение

$$\frac{(5\cdot2)^x-16\cdot5^x}{x+2}\geqslant 0$$

$$\frac{5^x(2^x-2^4)}{x+2}\geqslant 0$$

Показательная функция $$5^x > 0$$ при всех $$x$$, следовательно ее можно отбросить

$$\frac{2^x-2^4}{x+2}\geqslant 0$$

$$2^x$$ — возрастающая показательная функция, неравенство преобразуется в систему

$$\left\{\begin{matrix} (2^x-2^4)(x+2) > 0 \\ x\ne -2 \\ x=4\end{matrix}\right.$$

Решая методом интервалов, получим $$x\in(-\infty; -2)\cup [4; \infty)$$

Пересечение полученного решения с отрезком $$[-3;6]$$ дает $$x\in[-3;-2)\cup[4;6]$$

Выпишем все целые решения: $$-3; 4; 5; 6$$

Найдем сумму целых решений: $$-3+4+5+6=12$$

Ответ: 12

Поделиться

Обратите внимание

Материалы по теме

Предыдущий материал29 задание ЗНО 2014
Следующий материал31 задание ЗНО 2014