Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций

Четность и нечетность тригонометрических функций

Четной называется функция, которая не меняет своего значения при изменении знака независимой переменной (график такой функции симметричен относительно оси ординат): $$f(-x)=f(x).$$

Нечетной называется функция, которая меняет свое значение при изменении знака независимой переменной (график такой функции симметричен относительно начала координат): $$f(-x)=-f(x).$$

Индифферентной называется функция, которая не обладает симметрией.

Синус

$$\sin x$$ — нечетная функция

$$\sin (-x)=-\sin x$$

Косинус

$$\cos x$$ — четная функция

$$\cos (-x)=\cos x$$

Тангенс

$$\text{tg}x$$ — нечетная функция

$$\text{tg}(-x)=-\text{tg}x$$

Котангенс

$$\text{ctg}x$$ — нечетная функция

$$\text{ctg}(-x)=-\text{ctg}x$$

Периодичность тригонометрических функций

Периодической называется функция, которая повторяет свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода функции): существует такое ненулевое число $$T$$ (период), что на всей области определения функции выполняется равенство $$f(x)=f(x+T).$$

Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) являются периодическими.

$$\sin x,\;\cos x$$ — периодические функции с наименьшим положительным периодом $$2\pi:$$

$$\sin(x+2k\pi)=\sin x,\;\cos(x+2k\pi)=\cos x,\;k\in\mathbb{Z}.$$

$$\text{tg}x,\;\text{ctg}x$$ — периодические функции с наименьшим положительным периодом $$\pi:$$

$$\text{tg}(x+k\pi)=\text{tg}x,\;\text{ctg}(x+k\pi)=\text{ctg}x,\;k\in\mathbb{Z}.$$

Поделиться

Больше материалов

Уравнения с модулем

Несколько основных способов решения уравнений с модулем

Решение простейших тригонометрических уравнений

Предлагаем ознакомится с материалами по тригонометрии: Определение тригонометрических функций, Свойства обратных тригонометрических функций, Значения обратных тригонометрических функций. В общем...

Синусоида

Рассмотрим тригонометрическую функцию $$y=sin x.$$ Функция синус определена при любом $$x,$$ то есть область определения есть множество $$mathbb{R}$$ всех...

Многочлены

Одночлены. Многочлены. Деление многочленов. Теорема Безу. Схема Горнера. Разложение многочленов на множители.

Основные свойства и правила интегрирования

Основные свойства и правила Производная от неопределенного интеграла есть подынтегральная функция $$left ( int f(x),dx right...

Материалы по теме

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

21 задание пробного ЗНО 2015

Решение 21 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

13 задание пробного ЗНО 2015

Решение 13 тестового задания по математике пробного ЗНО 2015..

Тригонометрические выражения

Пройдите онлайн тест по теме "Тригонометрические выражения" и узнайте, насколько Вы подготовлены к ДПА и ЗНО..

Задание 52

Задание на доказательство. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение..

14 задание ЗНО 2014

Решение 14 задание ЗНО 2014 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 28 задание

Решение ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 28 задание...