Числовой автомат «ТЮМ–XVI»

Предлагаем Вашему вниманию конкурсную задачу из турнира юных математиков.

Задание

Числовой автомат «ТЮМ-XVI» может выполнять такие операции с натуральными числами :

  • вычесть из данного числа число 3 (если оно больше, чем  3);
  • умножить данное число на 3;
  • разделить данное число на 3 (если  оно делиться на 3 без остатка).

Ответьте на следующие вопросы:

  1. За какое наименьшее количество операций  можно из числа 82 получить число 81?
  2. За какое наименьшее количество операций  можно из числа 81 получить число 82?
  3. Аналогичный  вопрос относительно получения  числа $$n$$ из числа  $$m.$$

Решение:

Прежде, чем отвечать на вопросы задания, составим формулы для нахождения предыдущего натурального числа из последующего и последующего из предыдущего, используя свойства числового автомата «ТЮМ-XVI».

(1) Формула нахождения предыдущего натурального числа из последующего

Пусть $$n$$ — натуральное число, $$n+1$$ — следующее за ним натуральное число.

Если мы умножим последующее натуральное число на три, затем из полученного произведения вычтем три и результат вычитания разделим на три, то получим предыдущее натуральное число

$$\frac{(n+1) \cdot 3-3}{3}=\frac{3\cdot(n+1-1)}{3}=n$$

Докажем формулу $$n=\frac{(n+1) \cdot 3-3}{3}$$ методом математической индукции

Доказательство:

1) $$n=1, n+1=2$$

$$\frac{2\cdot3-3}{3}=\frac{6-3}{3}=\frac{3}{3}=1$$ — верно

2) Предположим, что верно $$n=\frac{(n+1) \cdot 3-3}{3}$$

$$n+1=\frac{(n+1) \cdot 3-3}{3}+1=\frac{(n+1) \cdot 3-3+3}{3}=\frac{((n+1) +1)\cdot 3-3}{3}$$ — ч.т.д.

(2) Формула нахождения последующего натурального числа из предыдущего

Пусть $$n$$ — натуральное число, $$n+1$$ — следующее за ним натуральное число.

Если мы дважды умножим натуральное число на три, из полученного произведения $$2n-1$$ раз вычтем тройку и результат вычитания разделим на три, то получим последующее натуральное число

$$\frac{n\cdot3\cdot3-(2n-1)\cdot3}{3}=\frac{9n-6n+3}{3}=\frac{3n+3}{3}=\frac{3(n+1)}{3}=n+1$$

Докажем формулу $$n+1=\frac{n\cdot3\cdot3-(2n-1)\cdot3}{3}$$ методом математической индукции

Доказательство:

1) $$n=1, n+1=2$$

$$\frac{1\cdot3\cdot3-(2\cdot1-1)\cdot3}{3}=\frac{9-3}{3}=\frac{6}{3}=2$$ — верно

2) Предположим, что верно $$n+1=\frac{n\cdot3\cdot3-(2n-1)\cdot3}{3}$$

$$(n+1)+1=\frac{n\cdot3\cdot3-(2n-1)\cdot3}{3}+1=\frac{n\cdot3\cdot3-(2n-1)\cdot3+3}{3}=$$

$$=\frac{9n-6n+3+3}{3}=\frac{9n-6n+6+9-9}{3}=\frac{(9n+9)-6n-3}{3}=\frac{9(n+1)-3(2n+1)}{3}=$$

$$=\frac{9(n+1)-3(2n+2-1)}{3}=\frac{9(n+1)-3(2(n+1)-1)}{3}=\frac{(n+1)\cdot3\cdot3-(2(n+1)-1)\cdot3}{3}$$ — ч.т.д.

Приступим к вопросам

1. За какое наименьшее количество операций  можно из числа 82 получить число 81?

Для получения числа 81 из 82 воспользуемся формулой (1) при этом выполнив три операции числового автомата «ТЮМ-XVI» (одну операцию умножения на три, одну операцию вычитания тройки и одну операцию деления на три).

$$\frac{82\cdot3-3}{3}=81$$

2. За какое наименьшее количество операций  можно из числа 81 получить число 82?

Для получения числа 82 из 81 воспользуемся формулой (2) при этом выполнив сто шестьдесят четыре операции числового автомата «ТЮМ-XVI» (две операции умножения на три, сто шестьдесят одну операцию вычитания тройки и одну операцию деления на три).

$$\frac{81\cdot3\cdot3-(2\cdot81-1)\cdot3}{3}=\frac{729-483}{3}=\frac{246}{3}=82$$

3. Аналогичный  вопрос относительно получения  числа $$n$$ из числа  $$m.$$

На третий вопрос предлагаем ответить самостоятельно, применив в общем виде формулы (1) или (2), в зависимости от чисел $$m$$ и $$n.$$

Если Вы знаете более рациональное решение, свяжитесь с нами.

Поделиться

Больше заданий

Задания 33-35 (составить уравнение плоскости)

Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости в пространстве. Советуем вспомнить теоретический материал по...

Задание 5 (Тригонометрия)

Найти значение выражения: $$text{ctg}left (arccos(-frac{1}{3}) right )$$ Рекомендуем ознакомиться с основными формулами раздела по тригонометрии: определение...

Задание 1 (произведение, транспонирование и сумма матриц)

Рекомендуем ознакомиться с теоретическими материалами по линейной алгебре: элементы теории матриц. Найти значение выражения $$A^2B-2B+C^{T},$$ если

Задание 10 (Графики)

Построить график функции: $$y=sqrt{1+tg^2x}cdotcos xcdotsqrt{|x|}$$ Решение: Преобразуем исходную функцию:

Задание 9 (Геометрия. Тригонометрия. Прогрессии)

Может ли существовать прямоугольный треугольник, у которого синусы углов образуют арифметическую прогрессию? Решение: Очевидно, что...

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

29 задание пробного ЗНО 2015

Решение 29 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

Задание №17 пробного ЗНО 2015

Решение 17 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

16 задание пробного ЗНО 2015

Решение 16 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..