ДПА 2012. 9 клас. Розв’язок 2 варіанту (4 частина)

Часть четвертая. Вариант 2

Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий четвертой части второго варианта ГИА (ДПА) по математике для девятого класса за 2012 год.

Четвертая часть аттестационной работы (для учеников классов с углубленным изучением математики) состоит из двух заданий открытой формы с развернутым ответом. Решение заданий 4.1 — 4.2 должно содержать объяснения. В нем необходимо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. При необходимости решения иллюстрируются схемами, графиками, таблицами.

Задание 4.1

Розв’яжіть систему рівнянь $$\left\{\begin{matrix} x + y + \sqrt{xy} = 13\\ x^2 + xy + y^2 = 91 \end{matrix}\right..$$

Решение:

Замена.

Пусть $$x+y=u,\;\sqrt{xy}=v$$, тогда

$$u^2=(x+y)^2=x^2+y^2+2xy,\;v^2=(\sqrt{xy})^2=xy$$.

$$\left (x+y \right )+\sqrt{xy}=u+v$$.

$$x^2+xy+y^2=x^2+y^2+2xy-xy=\left (x^2+y^2+2xy \right )-\left (\sqrt{xy} \right )^2=u^2-v^2$$.

Подставим в первое и второе уравнения системы:

$$\left\{\begin{matrix} u + v = 13\\ u^2 — v^2 = 91 \end{matrix}\right.$$

Ко второму уравнению системы применим формулу разность квадратов

$$\left\{\begin{matrix} u + v = 13\\ (u-v) (u+v ) = 91 \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} u + v = 13\\ 13(u-v) = 91 \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} u + v = 13\\ u-v = 7 \end{matrix}\right.$$

К первому уравнению системы прибавим второе:

$$2u=20\Rightarrow u=10$$

От первого уравнения системы отнимем второе:

$$2v=6\Rightarrow v=3$$

Обратная замена.

$$\left\{\begin{matrix} x+y=10\\ \sqrt{xy}=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=10\\ xy=9 \end{matrix}\right.$$

Применим теорему, которая является обратной к теореме Виета, получим

$$\left\{\begin{matrix} x=1\\ y=9 \end{matrix}\right.$$ или $$\left\{\begin{matrix} x=9\\ y=1 \end{matrix}\right.$$.

Ответ: $$(1;9),\;(9;1)$$.

Задание 4.2

Знайдіть рівняння кола з центром у точці $$O(1;-2)$$, яке дотикається до прямої $$3x-4y+9=0.$$

Решение:

Сначала найдем расстояние от точки до прямой

$$d=\left | \frac{3\cdot1-4\cdot(-2)+9}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \right |=\frac{20}{\sqrt{25}}=4$$

Так как окружность касается прямой $$3x-4y+9=0$$, то расстояние от центра окружности $$O(1;-2)$$ до точки касания (расстояние от точки до прямой) является радиусом окружности, т.е. $$R=4$$.

Запишем уравнение окружности с центром в точке $$O(1;-2)$$ и радиусом $$R=4$$:

$$(x-1)^2+(y+2)^2=16.$$

Поделиться

Обратите внимание

Материалы по теме