Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение

Для разных углов:

Сумма синусов есть удвоенное произведение синуса полусуммы на косинус полуразности:

$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

Разность синусов есть удвоенное произведение синуса полуразности на косинус полусуммы:

$$\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$$

Сумма косинусов есть удвоенное произведение косинуса полусуммы на косинус полуразности:

$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

Разность синусов есть удвоенное произведение синуса полусуммы на синус полуразности, взятое со знаком минус:

$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$

Сумма тангенсов есть отношение синуса суммы к произведению косинусов:

$$\text{tg} x+\text{tg} y=\frac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y}$$

Разность тангенсов есть отношение синуса разности к произведению косинусов:

$$\text{tg} x-\text{tg} y=\frac{\sin(x-y)}{\cos x\cos y}$$

Сумма котангенсов есть отношение синуса суммы к произведению синусов:

$$\text{ctg} x+\text{ctg} y=\frac{\sin(y+x)}{\sin x\sin y}$$

Разность котангенсов есть отношение синуса разности первого угла от второго к произведению синусов:

$$\text{ctg} x-\text{ctg} y=\frac{\sin(y-x)}{\sin x\sin y}$$

Для одного угла:

Сумма косинуса и синуса:

$$\cos\alpha+\sin\alpha=\sqrt{2}\cos\left (\frac{\pi}{4}-\alpha \right )$$

Разность косинуса и синуса:

$$\cos\alpha-\sin\alpha=\sqrt{2}\sin\left (\frac{\pi}{4}-\alpha \right )$$

Сумма тангенса и котангенса:

$$\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{2}{\sin2\alpha}$$

С коэффициентами $$a$$ и $$b:$$

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi),\;\text{tg}\phi=\frac{b}{a}$$

$$b+a\text{tg}x=\frac{a\sin x+b\cos x}{\cos x}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi)}{\cos x}$$

$$a+b\text{ctg}x=\frac{a\sin x+b\cos x}{\sin x}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi)}{\sin x}$$

$$\sin\phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},$$ $$\cos\phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Поделиться

Больше материалов

Правила дифференцирования. Таблица производных. Геометрический и физический смыслы производной

Определение Производной функции $$y=f(x)$$ в точке $$x$$ называется предел отношения приращения функции $$Delta y$$ к приращению $$Delta x$$...

Многочлены

Одночлены. Многочлены. Деление многочленов. Теорема Безу. Схема Горнера. Разложение многочленов на множители.

Уравнения с модулем

Несколько основных способов решения уравнений с модулем

Свойства обратных тригонометрических функций

Так как геометрически значение обратной тригонометрической функции связано с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному...

Материалы по теме

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

21 задание пробного ЗНО 2015

Решение 21 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

13 задание пробного ЗНО 2015

Решение 13 тестового задания по математике пробного ЗНО 2015..

Тригонометрические выражения

Пройдите онлайн тест по теме "Тригонометрические выражения" и узнайте, насколько Вы подготовлены к ДПА и ЗНО..

Задание 52

Задание на доказательство. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение..

14 задание ЗНО 2014

Решение 14 задание ЗНО 2014 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 28 задание

Решение ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 28 задание...
Предыдущий материалВекторний добуток векторів
Следующий материалМішаний добуток векторів