ГИА (ДПА) 2012. 11 класс. Часть вторая. Вариант 1

Часть вторая. Вариант 1

Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий второй части первого варианта ГИА (ДПА) 2012 по математике для одиннадцатого класса.

Вторая часть аттестационной работы состоит из четырех заданий открытой формы с коротким ответом.

Задание 2.1

Решить уравнение $$4^x+2^{x+1}=80.$$

Решение:

Воспользуемся свойствами степеней

$$(2^2)^x+2\cdot2^x-80=0$$

$$(2^x)^2+2\cdot2^x-80=0$$

Замена $$2^x=t> 0$$

$$t^2+2t-80=0$$

По теореме Виета:

$$t_1=-10$$ (посторонний корень) и $$t_2=8$$

Обратная замена $$2^x=8\Rightarrow 2^x=2^3\Rightarrow x=3.$$

Ответ: 3.

Задание 2.2

В ящике лежит 12 белых и несколько черных шаров. Сколько черных шаров в ящике, если вероятность вынуть наугад черный шар равна $$\frac{2}{5}$$?

Решение:

По определению вероятности $$P(A)=\frac{m}{n}$$, где $$m$$ — число благоприятных исходов (количество черных шаров), $$n$$ — всех исходов (количество всех шаров). Тогда $$P(A)=\frac{m}{12+m}=\frac{2}{5}$$.

Из пропорции получим

$$5\cdot m=(12+m)\cdot2$$

$$5m-2m=24\Rightarrow 3m=24\Rightarrow m=8$$.

Ответ: 8.

Задание 2.3

Решить уравнение $$\sqrt{x}+2\sqrt[4]{x}-8=0.$$

Решение:

ОДЗ: $$x\geqslant 0$$.

Замена $$\sqrt[4]{x}=t\geqslant 0$$

$$t^2+2t-8=0$$

По теореме Виета:

$$t_1=-4$$ (посторонний корень), $$t_2=2$$.

Обратная замена $$\sqrt[4]{x}=2\Rightarrow x=2^4\Rightarrow x=16$$.

Ответ: 16.

Задание 2.4

Вершины квадрата со стороной 8 см принадлежат сфере. Найти площадь сферы, если расстояние от центра сферы к плоскости квадрата равно 2 см.

Решение:

Выполним построение. $$ABCD$$ — квадрат со стороной 8 см, находящийся на расстоянии $$OO_1=2$$ см от центра сферы.

Диагональ квадрата по теореме Пифагора равна: $$BD=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}$$ см. Тогда $$O_1D=\frac{1}{2}BD=4\sqrt{2}$$ см.

Из прямоугольного треугольника $$OO_1D\;(\angle OO_1D=90^{\circ})$$ по теореме Пифагора:

$$R=OD=\sqrt{OO_1^2+O_1D^2}=\sqrt{2^2+(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{36}=6$$ см.

Найдем площадь сферы:

$$S=4\pi R^2=4\pi\cdot6^2=144\pi$$ см2.

Ответ: $$144\pi$$ см2.

Источник: Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 11 кл. / О.С. Істер, О.І. Глобін, О.В. Комаренко. — К.: Центр навч.-метоод. л-ри, 2012.

Поделиться

Обратите внимание

ГИА (ДПА) 2012. 11 класс. Часть третья. Вариант 1

Часть третья. Вариант 1 Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий третьей части первого варианта ГИА (ДПА) 2012 по математике...

ГИА (ДПА) 2012. 11 класс. Часть четвертая. Вариант 1

Часть четвертая. Вариант 1 Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий четвертой части первого варианта ГИА (ДПА) 2012 по математике...

Материалы по теме

ДПА 2012. 9 класс. Вариант 7. Задание 3.1

Продолжаем готовиться к ДПА и ЗНО по математике. Текстовая задача на перевозку...

ДПА 2012. 9 класс. Вариант 4. Задание 3.1

В рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) предлагаем Вашему вниманию...

ГИА 2012. 4 класс. Контрольная работа №3 (В.1)

В рамках подготовки учеников 4 класса к ГИА (ДПА) по математике предлагаем...

ДПА 2012. 4 класс. Контрольная работа №2 (В.1)

В рамках подготовки к ГИА (ДПА) по математике для учащихся 4 класса...