Важным разделом математики является исследование аналитических функций. Оно обычно заключается в определении координат особых точек функции и ее значений в этих точках, а также в выяснении особенностей функции, таких как наличие точек разрыва, асимптот, точек перегибов, разрывов и т. д.
Maple 16, как и более ранние версии этого пакета, позволяют студенту полностью исследовать функции и строить их графики.
С помощью функции fsolve легко находятся значения независимой переменной x функций вида f(x), при которых f(x)=0 (корни этого уравнения). При этом данная функция позволяет (в отличие от функции solve) изолировать корни функции f(x) указанием примерного интервала их существования. Ряд функций служит для вычисления экстремумов, максимумов и минимумов функций, а также для определения их непрерывности.
Для исследования функций на непрерывность Maple 16 имеет функцию iscont, записываемую в ряде форм: iscont(expr, x=a..b), iscont(expr, x=a..b, ‘closed’) и iscont( expr, x=a.. b, ‘open’).
Функции, не имеющие непрерывности, доставляют много хлопот. В Maple 16 функция discont(f, х) позволяет определить точки, в которых нарушается непрерывность функции f(x). Она вычисляет все точки в пределах изменениях от $$-\infty$$ до $$\infty.$$ Результаты вычислений могут содержать особые экстра переменные с именами вида _Zn- и _NNn-. В частности, они позволяют оценить периодические нарушения непрерывности функций.
Многие операции, такие как интегрирование и дифференцирование, чувствительны к особенностям функций, в частности к их разрывам и особым точкам. Функция singular(ехрr, vars) позволяет найти особые (сингулярные) точки выражения ехрг, в которых она испытывает разрывы. Дополнительно в числе параметров может указываться необязательный список переменных.
Функция extrema позволяет найти экстремумы выражения ехрr (как максимумы, так и минимумы) при ограничениях constraints и переменных vars, по которым ищется экстремум: extrema(expr, constraints), extrema(expr, constraints, vars) и extrema(expr, constraints, vars, ‘s’).
Ограничения constraints и переменные vars могут задаваться одиночными объектами или списками ряда ограничений и переменных. Найденные координаты точки экстремума присваиваются переменной ‘s’. При отсутствии ограничений в виде равенств или неравенств вместо них записывается пустой список {}.
Функция extrema возвращает как значения экстремумов, так и значения аргументов, при которых экстремумы наблюдаются.
Часто нужно найти минимум или максимум заданной функции. Для поиска минимумов и максимумов выражений (функций) ехрr служат функции стандартной библиотеки: minimize(expr, opt1, opt2, …, optn) и maximize(expr, opt1, opt2, …, optn).
Эти функции могут разыскивать максимумы и минимумы для функций как одной, так и нескольких переменных. С помощью опций optl, opt2, … , optn можно указывать дополнительные данные для поиска.
Для вычисления пределов функции f в точке x=a используются следующие функции: limit(f, x=a, dir) и Limit(f, x=a, dir).
Здесь f – алгебраическое выражение, х – имя переменной, dir – параметр, указывающий на направление поиска предела (left — слева, right — справа, real — в области вещественных значений, complex — в области комплексных значений). Значением а может быть бесконечность (как положительная, так и отрицательная).
Для нахождения производной применяют дифференциальный оператор, который можно записывать в следующих формах: D(f) или D[i](f), где параметр f — выражение или имя функции, i — положительное целое число, выражение или последовательность. Этот оператор позволяет сократить запись, т.е. D(f)=unapply(diff(f(x), x), x) а в форме D(f)(x) = diff(f(x), x). Для нахождения n–й производной используют (D@@n)(f).
Для построения двумерных графиков служит функция plot. Она задается в виде: plot(f, h, v) и plot(f, h, v,…) ,где f — визуализируемая функция (или функции), h — переменная с указанием области ее изменения по горизонтали, v — необязательная переменная с указанием области изменения функции по вертикали, далее может следовать параметр или набор параметров, задающих стиль построения графика (толщину и цвет кривых, тип кривых, метки на них и т.д.). Обычно записывают plot(f(x), x=a..b). Диапазон изменения независимой переменной x задается как a..b, где a и b — минимальное и максимальное значение x, .. (две точки) — составной символ, указывающий на изменение независимой переменной. Разумеется, имя х здесь дано условно — независимая переменная может иметь любое допустимое имя.
Помимо построения самой кривой f(x) необходимо задать ряд других свойств графиков, например вывод координатных осей, тип и цвет линий графика и др. Это достигается применением параметров графика — специальных указаний для Maple. Графики обычно (хотя и не всегда) строятся сразу в достаточно приемлемом виде. Это достигается тем, что многие параметры задаются по умолчанию и пользователь, по крайней мере начинающий, может о них ничего не знать. Однако язык Maple 16 позволяет задавать управляющие параметры и в явном виде.
Пример
Исследовать функцию и построить график
$$y=\frac{x^3}{x-1}$$
Исследуем функцию средствами Maple 16:
Построим график функции при помощи Maple 16:
