Итоговая контрольная работа по алгебре. 8 класс

Алгебра. 8 класс. 1 вариант

В рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) предлагаем решение первого варианта итоговой контрольной работы по алгебре для учеников восьмого класса.

Часть 1

Задание 1

При каком значении переменной не существует выражение $$\frac{x-3}{x+7}?$$

А. 3

Б. $$-3$$

В. 7

Г. $$-7$$

Решение:

Выражение не существует, когда знаменатель дроби обращается в нуль, т.е. при $$x+7=3$$ или $$x=-7.$$

Ответ: Г.

Задание 2

Сократите дробь $$\frac{21x^8y^{12}}{14x^4y^{24}}.$$

А. $$\frac{3x^2}{2y^2}$$

Б. $$\frac{3x^4}{2y^{12}}$$

В. $$\frac{3x^2}{2y^{12}}$$

Г. $$\frac{3x^2}{4y^{12}}$$

Решение:

Предлагаем вспомнить свойства степеней

$$\frac{21x^8y^{12}}{14x^4y^{24}}=\frac{3x^{8-4}}{2y^{24-12}}=\frac{3x^4}{2y^{12}}$$

Ответ: Б.

Задание 3

Вычислить значение выражения $$\sqrt{0.09\cdot25}.$$

А. 15

Б. 0.15

В. 1.5

Г. 150

Решение:

Воспользуемся свойством корней и степеней

$$\sqrt{0.09\cdot25}=\sqrt{0.09}\cdot\sqrt{25}=\sqrt{(0.3)^2}\cdot\sqrt{5^2}=0.3\cdot5=1.5$$

Ответ: В.

Задание 4

Чему равна сумма корней уравнения $$x^2-7x-14=0?$$

А. 7

Б. $$-7$$

В. 14

Г. $$-14$$

Решение:

Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения

$$x_1+x_2=7$$

$$x_1\cdot x_2=-14$$

Ответ: А.

Часть 2

Задание 5

Представьте в виде степени выражение $$(a^{-2})^6:a^{-15}.$$

Решение:

Снова воспользуемся свойством степеней

$$(a^{-2})^6:a^{-15}=a^{-2\cdot6-(-15)}=a^3$$

Ответ: $$a^3.$$

Задание 6

Упростить выражение $$\sqrt{16a}-\sqrt{64a}+\sqrt{100a}.$$

Решение:

В этом задании воспользуемся свойствами корней и степеней и приведем подобные слагаемые

$$\sqrt{16a}-\sqrt{64a}+\sqrt{100a}=\sqrt{4^2}\sqrt{a}-\sqrt{8^2}\sqrt{a}+\sqrt{10^2}\sqrt{a}=4\sqrt{a}-8\sqrt{a}+10\sqrt{a}=6\sqrt{a}$$

Ответ: $$6\sqrt{a}.$$

Задание 7

Решить уравнение $$2x^2-5x+2=0.$$

Решение:

Вычислим дискриминант и воспользуемся формулами корней квадратного уравнения, если они существуют

$$D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9=3^2$$

$$x_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$$

$$x_2=\frac{5+3}{4}=2$$

Ответ: $$\frac{1}{2}; 2.$$

Часть 3

Задание 8

Упростить выражение $$(\frac{8a}{4-a^2}+\frac{2-a}{2+a}):\frac{2+a}{a}.$$

Решение:

При решении воспользуемся формулами сокращенного умножения

$$(\frac{8a}{4-a^2}+\frac{2-a}{2+a}):\frac{2+a}{a}=(\frac{8a}{(2-a)(2+a)+\frac{2-a}{2+a}})\cdot\frac{a}{2+a}=$$

Приведем к общему знаменателю

$$=\frac{8a+(2-a)^2}{(2-a)(2+a)}\cdot\frac{a}{2+a}=\frac{(8a+4+a^2-4a)\cdot a}{(2-a)(2+a)^2}=\frac{(4+a^2+4a)\cdot a}{(2-a)(2+a)^2}=\frac{(2+a)^2\cdot a}{(2-a)(2+a)^2}=\frac{a}{2-a}$$

Ответ: $$\frac{a}{2-a}.$$

Задание 9

С одного города в другой, расстояние между которыми равно 300 км, выехали одновременно две машины. Одна из них двигалась со скоростью на 10 км/ч большей, чем вторая, а потому прибыла в пункт назначения на 1 час раньше другой. Найти скорость каждой машины.

Решение:

Пусть скорость второй машины равна $$x$$ км/ч, тогда скорость первой — $$(x+10)$$ км/ч.

Время, которое потратила вторая машина на весь путь, равно $$\frac{300}{x}$$ ч, а для первой — $$\frac{300}{x+10}$$ ч.

Так как первая машина потратила на весь путь на 1 час меньше, чем вторая, то составим уравнение

$$\frac{300}{x}-\frac{300}{x+10}=1$$

Приведем к общему знаменателю

$$\frac{300(x+10)-300x-x(x+10)}{x(x+10)}=0$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

$$\frac{300x+3000-300x-x^2-10x}{x(x+10)}=0$$

$$\frac{-x^2-10x+3000}{x(x+10)}=0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю ($$-x^2-10x+3000=0$$), а знаменатель не равен нулю ($$x\neq0, x\neq-10$$).

$$-x^2-10x+3000=0$$

Домножим обе части уравнения на $$-1$$ и получим приведенное квадратное уравнение, корни которого найдем по теореме Виета

$$x^2+10x-3000=0$$

$$x_1+x_2=-10, x_1\cdot x_2=-3000$$

$$x_1=-60$$ — посторонний корень

$$x_2=50$$

Значит скорость второй машины равна 50 км/ч, а скорость первой составляет 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч; 50 км/ч.

Задание 10

Упростить выражение $$\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}-\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}.$$

Решение:

При решении воспользуемся свойством корней и определением модуля действительного числа

$$\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}=|3-\sqrt{5}|=3-\sqrt{5},$$ т.к. $$3 > \sqrt{5}$$ ($$3 > \sqrt{5}\Leftarrow \sqrt{9} > \sqrt{5}\Leftarrow 9 > 5$$)

$$\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2,$$ т.к. $$2 < \sqrt{5}$$ ($$2 < \sqrt{5}\Leftarrow \sqrt{4} < \sqrt{5}\Leftarrow 4 > 5$$)

Тогда $$\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}-\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=3-\sqrt{5}-(\sqrt{5}-2)=3-\sqrt{5}-\sqrt{5}+2=5-2\sqrt{5}$$

Ответ: $$5-2\sqrt{5}.$$

Поделиться

Обратите внимание

Итоговая контрольная работа по алгебре. 7 класс

Решение 1 варианта итоговой контрольной работы по алгебре за 7 класс. Cборник "Підсумкові контрольни роботи. 7 клас"..

Итоговая контрольная работа по геометрии. 7 класс

Решение 1 варианта итоговой контрольной работы по геометрии за 7 класс..

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 65 (текстовая задача)

Деревня расположена на берегу реки, а школа - на шоссе, пересекающем реку под прямым углом. Зимой школьник ходит из деревни в школу напрямик на лыжах и тратит на дорогу 40 мин...

Задание 64 (угол между часовой и минутной)

Найдите угол между часовой и минутной стрелками в 7 часов 38 минут