7 класс. Геометрия. 1 вариант
В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем ознакомиться с решением 1 варианта итоговой контрольной работы по геометрии за 7 класс.
Часть 1
Задание 1
Укажите, в каком случае точки $$A, B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.
А. $$AB=3$$ см, $$BC=8$$ см, $$AC=9$$ см.
Б. $$AB=3$$ см, $$BC=8$$ см, $$AC=7$$ см.
В. $$AB=3$$ см, $$BC=8$$ см, $$AC=5$$ см.
Г. $$AB=3$$ см, $$BC=8$$ см, $$AC=6$$ см.
Решение:
Точки лежат на одной прямой, когда выполняется одно из условий (в зависимости от расположения точек $$A, B$$ и $$C$$):
1) Точка $$B$$ лежит между точками $$A$$ и $$C:$$ $$AB+BC=AC$$
2) Точка $$A$$ лежит между точками $$B$$ и $$C:$$ $$BA+AC=BC$$
3) Точка $$C$$ лежит между точками $$A$$ и $$B:$$ $$AC+CB=AB$$
В нашем случае выполняется 2-е условие при $$AB=3$$ см, $$BC=8$$ см, $$AC=5$$ см
$$3+5=8.$$
Ответ: В.
Задание 2
На каком из рисунков прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны?
Решение:
$$a\parallel b$$ в случае А. Покажем это:
$$\angle1=60^{\circ}$$ как вертикальные. $$\angle1$$ и $$120^{\circ}$$ – внутренние односторонние. Так как их сумма равна $$60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ},$$ то $$a\parallel b.$$
Ответ: А.
Задание 3
Основание равнобедренного треугольника равно 8 см, а периметр – 18 см. Чему равна длина его боковой стороны?
А. 10 см
Б. 5 см
В. 2 см
Г. 1 см
Решение:
Периметр равнобедренного треугольника равен $$P=a+2b,$$ где $$a$$ – длина основания, $$b$$ – длина боковой стороны. Подставим известные величины и найдем длину боковой стороны:
$$8+2b=18\Rightarrow 2b=10\Rightarrow b=5$$ (см)
Ответ: Б.
Задание 4
В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$\angle A > \angle B > \angle C.$$ Укажите правильное неравенство.
А. $$AB > BC > AC$$
Б. $$BC > AB > AC$$
В. $$AB > AC > BC$$
Г. $$BC > AC > AB$$
Решение:
В треугольнике большему углу соответствует большая сторона (напротив большего угла лежит большая сторона). Тогда большая сторона в данном треугольнике это сторона $$BC,$$ а меньшая – сторона $$AB.$$
$$BC > AC > AB$$
Ответ: Г.
Часть 2
Задание 5
Один из смежных углов на $$14^{\circ}$$ больше второго. Какова градусная мера меньшего из этих углов?
Решение:
Пусть градусная мера меньшего из смежных углов равна $$x,$$ тогда градусная мера большего равна $$x+14^{\circ}.$$ Сумма смежных углов должна равняться $$180^{\circ}.$$
$$x+x+14^{\circ}=180^{\circ}\Rightarrow 2x=166^{\circ}\Rightarrow x=83^{\circ}$$
Ответ: $$83^{\circ}.$$
Задание 6
Чему равна градусная мера угла $$C,$$ изображенного на рисунке?
Решение:
$$\angle BDC=28^{\circ}+10^{\circ}=38^{\circ}$$ как внешний угол треугольника $$AED.$$
Рассмотрим треугольник $$BCD:$$
$$\angle C=180^{\circ}-72^{\circ}-38^{\circ}=70^{\circ},$$ так как сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}.$$
Ответ: $$70^{\circ}.$$
Часть 3
Задание 7
Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.
Доказательство:
$$ABC$$ – равнобедренный треугольник: $$AC$$ – основание, $$AB=BC$$ – боковые стороны, $$AK$$ и $$CM$$ – соответственно медианы к сторонам $$BC$$ и $$AB.$$
По определению медианы точки $$K$$ и $$M$$ – соответственно середины сторон $$BC$$ и $$AB.$$ Так как боковые стороны равны, то $$AM=MB=BK=CK.$$
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т.е. $$\angle BAC=\angle BCA.$$
$$\triangle AMC = \triangle AKC$$ (по двум сторонам и углу между ними: $$AM=CK,$$ $$AC$$ – общая, $$\angle MAC=\angle KCA$$).
Следовательно $$AK=CM.$$
ч.т.д.
Задание 8
Доказать равенство углов $$KDM$$ и $$KEM,$$ изображенных на рисунке, если $$DP=PE$$ и $$DK=KE.$$
Доказательство:
$$\triangle KDP=\triangle KEP$$ (по трем сторонам: $$DP=PE,$$ $$DK=KE$$ и $$PK$$ – общая).
Тогда $$\angle DKP=\angle EKP.$$
$$\triangle KDM=\triangle KEM$$ (по двум сторонам и углу между ними: $$DK=KE,$$ $$MK$$ – общая, $$\angle DKM=\angle EKM$$).
Тогда $$\angle KDM=\angle KEM.$$
ч.т.д.