Избавление от иррациональности

Исключение иррациональности дроби

Замена дробного выражения, у которого числитель или знаменатель (либо оба) иррациональны, тождественно равным ему выражением с рациональным числителем (знаменателем) называется исключением иррациональности из числителя (знаменателя) дробного выражения.

При исключении иррациональности из числителя (знаменателя) дроби числитель и знаменатель этой дроби умножают на множитель, сопряженный с числителем (знаменателем).

Сопряженным множителем относительно иррационального выражения $$A$$ называют всякое не равное тождественно нулю выражение $$B,$$ которое в произведении с $$A$$ не содержит знака корня, то есть $$A\cdot B$$ рационально.

Основные случаи исключения иррациональности из знаменателя
(исключение из числителя выполняется аналогичным образом)

Пользуясь свойствами корней и степеней, а также формулами сокращенного умножения, можно избавиться от иррациональности в знаменателе (числителе) дроби.

Дроби вида $$\frac{A}{\sqrt[n]{a^k}},$$ где $$n>k,$$ $$a>0,$$ $$A$$  некоторое выражение.

В качестве сопряженного со знаменателем множителя можно взять $$\sqrt[n]{a^{n-k}},$$ так как $$\sqrt[n]{a^k}\cdot\sqrt[n]{a^{n-k}}=a$$

Домножив числитель и знаменатель этой дроби на $$\sqrt[n]{a^{n-k}},$$ получим
$$\frac{A}{\sqrt[n]{a^k}}=\frac{A\sqrt[n]{a^{n-k}}}{\sqrt[n]{a^k}\cdot\sqrt[n]{a^{n-k}}}=\frac{A\sqrt[n]{a^{n-k}}}{a}, a>0$$

Дроби вида $$\frac{A}{\sqrt{a}\pm\sqrt{b}}.$$

Выражения $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ и $$\sqrt{a}-\sqrt{b}$$ взаимно сопряженные благодаря формуле разности квадратов, то есть $$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b,$$ поэтому

$$\frac{A}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{A\cdot(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{A\cdot(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$$ при $$a\geqslant0,b\geqslant0,a\neq b;$$

$$\frac{A}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{A\sqrt{a}}{2a}=\frac{A\sqrt{b}}{2b},$$ если $$a>0,a=b;$$

$$\frac{A}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{A\cdot(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{A\cdot(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}$$ при $$a\geqslant0,b\geqslant0,a\neq b;$$

Дроби вида $$\frac{A}{\sqrt[3]{a}\pm\sqrt[3]{b}}$$ и $$\frac{A}{\sqrt[3]{a^2}\mp\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}.$$

Пользуясь формулами разности (суммы) кубов, избавляются от иррациональности, то есть $$(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=a-b$$ и $$(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=a+b,$$ так как выражения $$\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$$ и $$\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2},$$ а также $$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$$ и $$\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$$ взаимно сопряжены.

Поделиться

Больше материалов

Корни квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида: $$ax^2+bx+c=0;(aneq0),$$ где $$x$$ - переменная (неизвестная), $$a,b,c$$ - числовые коэффициенты, стоящие...

Простые и составные числа. Признаки делимости

Простые и составные числа. Таблица простых чисел до 200. Признаки делимости.

Пропорции. Модуль действительного числа

Пропорции и их свойства. Абсолютная величина, геометрический смысл модуля, свойства.

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Произведение синусов есть полуразность косинуса разности и косинуса суммы: $$sin xsin y=frac{1}{2}left $$ Произведение...

Множина. Підмножина. Операції. Круги Ейлера-Венна

Множина Множину можна уявити собі як сукупність деяких об’єктів, що об’єднані за якоюсь ознакою. У математиці множини —...

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

29 задание пробного ЗНО 2015

Решение 29 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

Задание №17 пробного ЗНО 2015

Решение 17 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

16 задание пробного ЗНО 2015

Решение 16 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..