Квадратным уравнением называется уравнение вида:
$$ax^2+bx+c=0\;(a\neq0),$$
где $$x$$ – переменная (неизвестная), $$a,b,c$$ – числовые коэффициенты, стоящие соответственно при второй, первой и нулевой степенях неизвестной.
Формулы корней для квадратного уравнения, записанного в общем виде
$$ax^2+bx+c=0\;(a\neq0)$$ – квадратное уравнение.
$$D=b^2-4ac$$ – дискриминант.
1) Если дискриминант неотрицательный, т.е. $$D\geqslant 0,$$ то уравнение имеет два действительных корня
(при $$D>0$$ корни разные, а при $$D=0$$ корни совпадают)
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$
2) Если дискриминант отрицательный, т.е. $$D<0,$$ то уравнение действительных корней не имеет.
Формулы корней для уравнения с четным коэффициентом при переменной в 1 степени
Если коэффициент $$b,$$ стоящий при переменной в первой степени, является четным числом, т.е. $$b=2k,$$ то уравнение примет вид:
$$ax^2+2kx+c=0$$
Выпишем формулы дискриминанта и корней для такого уравнения:
$$D_{1}=k^2-ac$$
$$x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{D_{1}}}{a}\;\left (D_{1}\geqslant 0 \right )$$
Формулы корней для приведенного уравнения
Если коэффициент $$a,$$ стоящий при переменной во второй степени, равен единице, то перепишем первоначальное уравнение в следующем виде:
$$x^2+px+q=0$$
Такое уравнение называется приведенным.
Выпишем формулы дискриминанта и корней для такого уравнения:
$$D_{2}=\frac{p^2}{4}-q$$
$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{D_{2}}\;(D_{2}\geqslant 0)$$
Справедливы следующие утверждения:
Теорема Виета:
1) Если $$x_{1},\;x_{2}$$ – корни квадратного уравнения $$x^2+px+q=0,$$ то
$$x_{1}+x_{2}=-p$$
$$x_{1}\cdot x_{2}=q$$
2) Если $$x_{1},\;x_{2}$$ – корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0\;(a\neq0),$$ то
$$x_{1}+ x_{2}=-\frac{b}{a}$$
$$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$$
Формула разложения квадратного трехчлена на множители:
Если $$x_{1},\;x_{2}$$ – корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0\;(a\neq0),$$ то
$$ax^2+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$
Примеры: Задание 4 (Алгебра)