Корни квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида:

$$ax^2+bx+c=0\;(a\neq0),$$

где $$x$$ — переменная (неизвестная), $$a,b,c$$ — числовые коэффициенты, стоящие соответственно при второй, первой и нулевой степенях неизвестной.

Формулы корней для квадратного уравнения, записанного в общем виде

$$ax^2+bx+c=0\;(a\neq0)$$ — квадратное уравнение.

$$D=b^2-4ac$$ — дискриминант.

1) Если дискриминант неотрицательный, т.е. $$D\geqslant 0,$$ то уравнение имеет два действительных корня

(при $$D>0$$ корни разные, а при $$D=0$$ корни совпадают)

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$

2) Если дискриминант отрицательный, т.е. $$D<0,$$ то уравнение действительных корней не имеет.

Формулы корней для уравнения с четным коэффициентом при переменной в 1 степени

Если коэффициент $$b,$$ стоящий при переменной в первой степени, является четным числом, т.е. $$b=2k,$$ то уравнение примет вид:

$$ax^2+2kx+c=0$$

Выпишем формулы дискриминанта и корней для такого уравнения:

$$D_{1}=k^2-ac$$

$$x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{D_{1}}}{a}\;\left (D_{1}\geqslant 0 \right )$$

Формулы корней для приведенного уравнения

Если коэффициент $$a,$$ стоящий при переменной во второй степени, равен единице, то перепишем первоначальное уравнение в следующем виде:

$$x^2+px+q=0$$

Такое уравнение называется приведенным.

Выпишем формулы дискриминанта и корней для такого уравнения:

$$D_{2}=\frac{p^2}{4}-q$$

$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{D_{2}}\;(D_{2}\geqslant 0)$$

Справедливы следующие утверждения:

Теорема Виета:

1) Если $$x_{1},\;x_{2}$$ — корни квадратного уравнения $$x^2+px+q=0,$$ то

$$x_{1}+x_{2}=-p$$

$$x_{1}\cdot x_{2}=q$$

2) Если $$x_{1},\;x_{2}$$ — корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0\;(a\neq0),$$ то

$$x_{1}+ x_{2}=-\frac{b}{a}$$

$$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$$

Формула разложения квадратного трехчлена на множители:

Если $$x_{1},\;x_{2}$$ — корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0\;(a\neq0),$$ то

$$ax^2+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$

Примеры: Задание 4 (Алгебра)

Поделиться

Больше материалов

Прогрессии

Арифметическая прогрессия Арифметическая прогрессия - последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, есть сумма предыдущего члена и...

Решение простейших тригонометрических уравнений

Предлагаем ознакомится с материалами по тригонометрии: Определение тригонометрических функций, Свойства обратных тригонометрических функций, Значения обратных тригонометрических функций. В общем...

Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами

Теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами + пример нахождения рациональных корней

Тангенсоида

Тангенсом называется функция вида $$f(x)=text{tg}x.$$ Область определения $$D(f)$$ - множество действительных чисел за исключением чисел вида $$frac{pi}{2}+pi k, kinmathbb{Z},$$...

Графики обратных тригонометрических функций

Обратными тригонометрическими функциями называются функции $$y=arcsin x,$$ $$y=arccos x,$$ $$y=text{arctg}x,$$ $$y=text{arcctg}x.$$ График арксинуса $$y=arcsin x$$

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

29 задание пробного ЗНО 2015

Решение 29 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

Задание №17 пробного ЗНО 2015

Решение 17 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

16 задание пробного ЗНО 2015

Решение 16 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..
Предыдущий материалЗадание 4 (уравнение 4-й степени)
Следующий материалЗадание 5 (Тригонометрия)