Логарифмическое и параметрическое дифференцирование

Логарифмическое и параметрическое дифференцирование

При логарифмическом и параметрическом дифференцировании уместно пользоваться правилами вычисления производных, таблицей производных и правилом нахождения производной сложной функции.

Логарифмическое дифференцирование

Логарифмической производной функции $$f(x)>0$$ является производная от логарифма данной функции $$\ln f(x).$$ То есть сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него.

$$[\ln f(x)]^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$$

Для нахождения производной функции $$y=f(x)^{g(x)},\;f(x)>0$$ можно воспользоваться и другим способом:

$$y=f(x)^{g(x)}=e^{\ln f(x)^{g(x)}}=e^{g(x)\ln f(x)}$$

$$y^{\prime}=\left (e^{g(x)\ln f(x)} \right )^{\prime}$$

$$y^{\prime}=e^{g(x)\ln f(x)} \cdot \left ( g'(x)\ln f(x)+g(x)\cdot\frac{f'(x)}{f(x)} \right )$$

$$y^{\prime}=f(x)^{g(x)}\cdot \left ( g'(x)\ln f(x)+g(x)\cdot\frac{f'(x)}{f(x)} \right )$$

Примеры

Пример 1

$$y=x^x$$

Прологарифмируем обе части

$$\ln y=\ln x^x$$

$$\ln y=x\ln x$$

Найдем производную

$$\frac{y^{\prime}}{y}=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}$$

$$y^{\prime}=y(\ln x+1 )$$

$$y^{\prime}=x^x (\ln x+1)$$

Пример 2

$$y=x^{e^x}$$

$$\ln y=\ln x^{e^x}$$

$$\ln y=e^x\ln x$$

$$\frac{y^{\prime}}{y}=e^x\cdot\ln x+e^x\cdot\frac{1}{x}$$

$$y^{\prime}=x^{e^x}e^x\left (\ln x+\frac{1}{x} \right )$$

Пример 3

$$y=(\sin x)^{x+1}$$

$$y=e^{\ln (\sin x)^{x+1}}=e^{(x+1)\ln (\sin x)}$$

$$y^{\prime}=e^{(x+1)\ln (\sin x)}\cdot\left (\ln (\sin x)+ \frac{(x+1)}{\sin x}\cdot \cos x \right )$$

$$y^{\prime}=(\sin x)^{(x+1)}\cdot\left [\ln (\sin x)+ (x+1)\text{ctg}\, x \right ]$$

Пример 4

$$y=x^{-\text{tg}\,x}=e^{\ln x^{-\text{tg}\,x}}=e^{-\text{tg}\,x\ln x}$$

$$y^{\prime}=e^{-\text{tg}\,x\ln x}\left ( -\frac{1}{\cos^2x}\cdot\ln x- \text{tg}\,x\cdot\frac{1}{x}\right )$$

$$y^{\prime}=-x^{-\text{tg}\,x}\left ( \frac{\ln x}{\cos^2x}+ \frac{\text{tg}\,x}{x}\right )$$

Параметрическое дифференцирование

Функция задана параметрически

$$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$$

Производная такой функции находится по формуле

$$y^{\prime}_x=\frac{y^{\prime}_t}{x^{\prime}_t}$$

Пример

$$\begin{cases} x = e^{2t} \\ y = \cos t \end{cases}$$

$$x^{\prime}_t=2e^{2t},\;y^{\prime}_t=-\sin t\Rightarrow y^{\prime}_x=-\frac{\sin t}{2e^{2t}}$$

Поделиться

Больше материалов

Питання існування розв’язків систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему лінійних рівнянь СЛР в загальному вигляді $$left{begin{matrix} a_{11}x_{1} & + & a_{12}x_{2} &...

Производная неявной функции

Алгоритм нахождения производной неявной функции. Примеры..

Вступні означення, зміст та властивості лінійних операцій над векторами

Вектором називається направлений відрізок (упорядкована пара точок). До векторів належить також і нульовий вектор, початок і кінець...

Розв’язування систем лінійних рівнянь

Прежде чем приступать к рассмотрению данной темы, рекомендуем ознакомиться с элементами теории определителей и матриц. Основні означення

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння матеріалу з геометрії, але і сприяє опануванню основ векторної алгебри.

Материалы по теме

Задание №20 ЗНО 2014

Решение 20 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

Задание 54 (вторая производная от дроби)

Нахождение второй производной для дробного выражения

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 18 задание

Найдите производную функции $$y=e^{-2x}.$$ А. $$y$$'$$=e^{-2x}$$

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 31 задание

На рисунку зображено графік функції $$F(x)=x^2+bx+c,$$ яка є первісною для функції $$f(x).$$...

Производная неявной функции

Алгоритм нахождения производной неявной функции. Примеры..

Производная сложной функции

Определение Сложная функция – это функция (внешняя функция),...

Задание 13 (нахождение наибольшего и наименьшего значения функции)

Задание Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=-8x^6+9x^4-2x^2-3$$...

Задание 12 (нахождение производных)

Найти производную Перед тем, как приступить к решению задания,...