Логарифмическое и параметрическое дифференцирование

Логарифмическое и параметрическое дифференцирование

При логарифмическом и параметрическом дифференцировании уместно пользоваться правилами вычисления производных, таблицей производных и правилом нахождения производной сложной функции.

Логарифмическое дифференцирование

Логарифмической производной функции $$f(x)>0$$ является производная от логарифма данной функции $$\ln f(x).$$ То есть сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него.

$$[\ln f(x)]^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$$

Для нахождения производной функции $$y=f(x)^{g(x)},\;f(x)>0$$ можно воспользоваться и другим способом:

$$y=f(x)^{g(x)}=e^{\ln f(x)^{g(x)}}=e^{g(x)\ln f(x)}$$

$$y^{\prime}=\left (e^{g(x)\ln f(x)} \right )^{\prime}$$

$$y^{\prime}=e^{g(x)\ln f(x)} \cdot \left ( g'(x)\ln f(x)+g(x)\cdot\frac{f'(x)}{f(x)} \right )$$

$$y^{\prime}=f(x)^{g(x)}\cdot \left ( g'(x)\ln f(x)+g(x)\cdot\frac{f'(x)}{f(x)} \right )$$

Примеры

Пример 1

$$y=x^x$$

Прологарифмируем обе части

$$\ln y=\ln x^x$$

$$\ln y=x\ln x$$

Найдем производную

$$\frac{y^{\prime}}{y}=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}$$

$$y^{\prime}=y(\ln x+1 )$$

$$y^{\prime}=x^x (\ln x+1)$$

Пример 2

$$y=x^{e^x}$$

$$\ln y=\ln x^{e^x}$$

$$\ln y=e^x\ln x$$

$$\frac{y^{\prime}}{y}=e^x\cdot\ln x+e^x\cdot\frac{1}{x}$$

$$y^{\prime}=x^{e^x}e^x\left (\ln x+\frac{1}{x} \right )$$

Пример 3

$$y=(\sin x)^{x+1}$$

$$y=e^{\ln (\sin x)^{x+1}}=e^{(x+1)\ln (\sin x)}$$

$$y^{\prime}=e^{(x+1)\ln (\sin x)}\cdot\left (\ln (\sin x)+ \frac{(x+1)}{\sin x}\cdot \cos x \right )$$

$$y^{\prime}=(\sin x)^{(x+1)}\cdot\left [\ln (\sin x)+ (x+1)\text{ctg}\, x \right ]$$

Пример 4

$$y=x^{-\text{tg}\,x}=e^{\ln x^{-\text{tg}\,x}}=e^{-\text{tg}\,x\ln x}$$

$$y^{\prime}=e^{-\text{tg}\,x\ln x}\left ( -\frac{1}{\cos^2x}\cdot\ln x- \text{tg}\,x\cdot\frac{1}{x}\right )$$

$$y^{\prime}=-x^{-\text{tg}\,x}\left ( \frac{\ln x}{\cos^2x}+ \frac{\text{tg}\,x}{x}\right )$$

Параметрическое дифференцирование

Функция задана параметрически

$$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$$

Производная такой функции находится по формуле

$$y^{\prime}_x=\frac{y^{\prime}_t}{x^{\prime}_t}$$

Пример

$$\begin{cases} x = e^{2t} \\ y = \cos t \end{cases}$$

$$x^{\prime}_t=2e^{2t},\;y^{\prime}_t=-\sin t\Rightarrow y^{\prime}_x=-\frac{\sin t}{2e^{2t}}$$

Поделиться

Больше материалов

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних...

Система «площина — пряма лінія» у просторі

Згадаємо теоретичні матеріали: Рівняння площини у просторі, Різні види рівняння прямої у просторі, Взаємне розташування двох прямих у просторі.

Вступні означення, зміст та властивості лінійних операцій над векторами

Вектором називається направлений відрізок (упорядкована пара точок). До векторів належить також і нульовий вектор, початок і кінець...

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння матеріалу з геометрії, але і сприяє опануванню основ векторної алгебри.

Модифікований метод Гауса для розв’язання систем лінійних рівнянь

Розглянемо модифікований метод Гауса (метод повного виключення невідомих) на прикладі неоднорідної системи чотирьох лінійних рівнянь с чотирма невідомими. Ідея...

Материалы по теме

Задание №20 ЗНО 2014

Решение 20 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

Задание 54 (вторая производная от дроби)

Нахождение второй производной для дробного выражения

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 18 задание

Найдите производную функции $$y=e^{-2x}.$$ А. $$y$$'$$=e^{-2x}$$

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 31 задание

На рисунку зображено графік функції $$F(x)=x^2+bx+c,$$ яка є первісною для функції $$f(x).$$...

Производная неявной функции

Алгоритм нахождения производной неявной функции. Примеры..

Производная сложной функции

Определение Сложная функция – это функция (внешняя функция),...

Задание 13 (нахождение наибольшего и наименьшего значения функции)

Задание Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=-8x^6+9x^4-2x^2-3$$...

Задание 12 (нахождение производных)

Найти производную Перед тем, как приступить к решению задания,...