Логарифмы и их свойства

Определение

Число $$c$$ называется логарифмом положительного числа $$b$$ по основанию числа $$a,$$ большего нуля и неравного единице, если $$a$$ в степени $$c$$ равно $$b:$$

$$\log_{a}b=c\Leftrightarrow a^c=b\;(a>0,a\neq1,b>0).$$

Обозначения

Десятичный логарифм: $$\lg b=\log_{10}b.$$

Натуральный логарифм: $$\ln b=\log_{e}b$$ ($$e\approx 2.71$$…).

Свойства логарифмов

  • $$a^{\log_{a}b}=b\;(a>0,a\neq1,b>0)$$
  • $$\log_{a}(b\cdot c)=\log_{a}|b|+\log_{a}|c|\;(a>0,a\neq1,b\cdot c>0)$$
  • $$\log_{a}\left (\frac{b}{c} \right )=\log_{a}|b|-\log_{a}|c|\;\left (a>0,a\neq1,\frac{b}{c}>0 \right )$$
  • $$\log_{a^{\alpha }}b^{\beta}=\frac{\beta}{\alpha}\log_{|a|}|b|\;\left (a\neq0,|a|\neq1,\alpha\neq0,b^{\beta}>0\right )$$
  • $$\log_{a}b^{\alpha}=\alpha\log_{a}|b|\;\left (a>0,a\neq1,b^{\alpha}>0 \right )$$
  • $$\log_{a}\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}\log_{a}b\;\left (a>0,a\neq1,b>0,n\neq0 \right )$$
  • $$\log_{a^{\alpha}}b=\frac{1}{\alpha}\log_{|a|}b\;\left (a\neq0,|a|\neq1,b>0,\alpha\neq0 \right )$$
  • $$\log_{a}b=\log_{a^{\alpha}}b^{\alpha}\;(a>0,a\neq1,b>0, \alpha\in \mathbb{R})$$
  • $$\log_{a}a=1\;(a>0,a\neq1)$$
  • $$\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}\;(a>0,a\neq1,b>0,b\neq1)$$
  • $$\log_{a}1=0\;\left (a>0,a\neq1 \right )$$
  • $$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\;\left (a>0,a\neq1,b>0, c>0, c\neq1 \right )$$

Пример: Применение свойств логарифмов (задание 26)

Поделиться

Больше материалов

Углы и окружность

Центральный и вписанный углы. Свойства вписанных углов. Радианное и градусное измерение углов. Теоремы об углах, связанных с окружностью.

Графики обратных тригонометрических функций

Обратными тригонометрическими функциями называются функции $$y=arcsin x,$$ $$y=arccos x,$$ $$y=text{arctg}x,$$ $$y=text{arcctg}x.$$ График арксинуса $$y=arcsin x$$

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Прежде, чем приступать к запоминанию значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для некоторых углов, предлагаем вспомнить определение тригонометрических функций.

Основные свойства и правила интегрирования

Основные свойства и правила Производная от неопределенного интеграла есть подынтегральная функция $$left ( int f(x),dx right...

Косинусоида

Косинус $$y=cos x.$$ Функция косинус определена при любом $$x,$$ то есть область определения есть множество $$mathbb{R}$$ всех действительных чисел. Областью значений функции косинус...

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

29 задание пробного ЗНО 2015

Решение 29 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

28 задание пробного ЗНО 2015

Решение 28 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

29 задание ЗНО 2014

Решение 29 задание ЗНО 2014 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

Задание №17 пробного ЗНО 2015

Решение 17 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..
Предыдущий материалМногочлены
Следующий материалЗадание 8 (Прогрессии. Геометрия)