Выражения, которые могут содержать операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень чисел и переменных, называются рациональными. Если рациональное выражение содержит операцию деления на выражение с переменной, то его называют дробным, а иначе – целым.
Рациональной дробью называют выражение вида $$\frac{A}{B},$$ где $$A$$ и $$B$$ – многочлены.
Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить или разделить на многочлен, отличный от нуль-многочлена, то получим дробь, тождественно равную данной: $$\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C},C\neq0.$$
Сокращением дроби является деление числителя и знаменателя на общий множитель. Для сокращения дроби необходимо сначала разложить на множители ее числитель и знаменатель.
Приведение дробей к общему знаменателю:
- Найти НОК знаменателей дробей – это и будет общий знаменатель;
- Найти дополнительный множитель для каждой дроби (делим общий знаменатель на знаменатель дроби);
- Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.
Для сложения или вычитания дробей с разными знаменателями необходимо сначала их привести к общему знаменателю.
Произведением рациональных дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей.
Деление дробей сводится к произведению. Дробь, на которую нужно разделить, переворачиваем (меняем местами числитель и знаменатель), а затем умножаем: $$\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A\cdot D}{B\cdot C}.$$
Возведение рациональной дроби в степень с целым показателем: $$(\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}.$$