Исключение иррациональности дроби

Замена дробного выражения, у которого числитель или знаменатель (либо оба) иррациональны, тождественно равным ему выражением с рациональным числителем (знаменателем) называется исключением иррациональности из числителя (знаменателя) дробного выражения.

При исключении иррациональности из числителя (знаменателя) дроби числитель и знаменатель этой дроби умножают на множитель, српряженный с числителем (знаменателем).

Сопряженным множителем относительно иррационального выражения $$A$$ называют всякое не равное тождественно нулю выражение $$B,$$ которое в произведении с $$A$$ не содержит знака корня, то есть $$A\cdot B$$ рационально.

Основные случаи исключения иррациональности из знаменателя

(исключение из числителя выполняется аналогичным образом)

Пользуясь свойствами корней и степеней, а также формулами сокращенного умножения, можно избавиться от иррациональности в знаменателе (числителе) дроби

  • Дроби вида $$\frac{A}{\sqrt[n]{a^k}},$$ где $$n>k,$$ $$a>0,$$ $$A$$  некоторое выражение.

    В качестве сопряженного со знаменателем множителя можно взять $$\sqrt[n]{a^{n-k}},$$ так как $$\sqrt[n]{a^k}\cdot\sqrt[n]{a^{n-k}}=a$$

    Домножив числитель и знаменатель этой дроби на $$\sqrt[n]{a^{n-k}},$$ получим
    $$\frac{A}{\sqrt[n]{a^k}}=\frac{A\sqrt[n]{a^{n-k}}}{\sqrt[n]{a^k}\cdot\sqrt[n]{a^{n-k}}}=\frac{A\sqrt[n]{a^{n-k}}}{a}, a>0$$

  • Дроби вида $$\frac{A}{\sqrt{a}\pm\sqrt{b}}.$$

    Выражения $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ и $$\sqrt{a}-\sqrt{b}$$ взаимно сопряженные благодаря формуле разности квадратов, то есть $$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b,$$ поэтому

    $$\frac{A}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{A\cdot(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{A\cdot(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$$ при $$a\geqslant0,b\geqslant0,a\neq b;$$

    $$\frac{A}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{A\sqrt{a}}{2a}=\frac{A\sqrt{b}}{2b},$$ если $$a>0,a=b;$$

    $$\frac{A}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{A\cdot(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{A\cdot(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}$$ при $$a\geqslant0,b\geqslant0,a\neq b;$$

  • Дроби вида $$\frac{A}{\sqrt[3]{a}\pm\sqrt[3]{b}}$$ и $$\frac{A}{\sqrt[3]{a^2}\mp\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}.$$

    Пользуясь формулами разности (суммы) кубов, избавляются от иррациональности, то есть $$(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=a-b$$ и $$(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=a+b,$$ так как выражения $$\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$$ и $$\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2},$$ а также $$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$$ и $$\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$$ взаимно сопряжены.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

Теги: