Неформально говоря, определённый интеграл является площадью криволинейной трапеции.
Геометрический смысл определенного интеграла
Определённый интеграл $$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx$$ численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми $$x=a$$ и $$x=b$$ и графиком функции $$y=f(x).$$
Формула Ньютона-Лейбница
$$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a),\;F'(x)=f(x)$$
Метод подстановки для определенного интеграла
$$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\int\limits_{\alpha}^{\beta}f[\phi(t)]\phi'(t)\,dt,\;x=\phi(t),\;\phi(\alpha)=a,\;\phi(\beta)=b$$
Интегрирование по частям для определенного интеграла
$$\int\limits_{a}^{b}u(x)\,dv(x)=u(x)v(x)|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}v(x)\,du(x)$$
Свойства определенного интеграла
$$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx = -\int\limits_{b}^{a}f(x) \, dx,\; a < b $$
$$\int\limits_{a}^{a}f(x)\,dx=0$$
$$\int\limits_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]\,dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\pm\int\limits_{a}^{b}g(x)\,dx$$
$$\int\limits_{a}^{b}kf(x)\,dx=k\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx,\;k=\text{const}$$
$$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx+\int\limits_{c}^{b}f(x)\,dx$$
Также рекомендуем ознакомиться с материалами по теме: Основные неопределенные интегралы, Основные свойства и правила интегрирования.