Правила дифференцирования. Таблица производных. Геометрический и физический смыслы производной

Определение

Производной функции $$y=f(x)$$ в точке $$x$$ называется предел отношения приращения функции $$\Delta y$$ к приращению $$\Delta x$$ аргумента $$x,$$ когда приращение аргумента стремится к нулю.

$$y^{\prime}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Основные правила дифференцирования

  1. Производная от алгебраической суммы функций есть алгебраическая сумма производных: $$\left ( f(x)\pm g(x)\pm h(x) \right )^{\prime}=f'(x)\pm g^{\prime}(x)\pm h^{\prime}(x).$$
  2. Производная от произведения двух функций есть произведение производной первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй функции: $$(u\cdot v)^{\prime}=u^{\prime}\cdot v+u\cdot v^{\prime},\;u=u(x),\;v=v(x).$$
  3. Постоянное число (константу) можно вынести за знак производной: $$\left ( c f(x) \right )^{\prime}=cf^{\prime}(x),\;c=const.$$
  4. Производная от частного двух функций есть отношение разности произведения производной числителя на знаменатель и произведения числителя на производную знаменателя к знаменателю в квадрате: $$\left ( \frac{u}{v} \right )^{\prime}=\frac{u^{\prime}\cdot v-u\cdot v^{\prime}}{v^2},\;u=u(x),\;v=v(x)\neq0.$$

Таблица производных

Функция  $$y$$

Производная  $$y^{\prime}$$

$$c=const$$ 0
$$x^n$$ $$nx^{n-1},\;n\in \mathbb{R}$$
$$a^x$$ $$a^x\ln a,\;a>0,\;a\neq1$$
$$e^x$$ $$e^x$$
$$\log_a x$$ $$\frac{1}{x\ln a},\;a>0,\;a\neq1$$
$$\ln x$$ $$\frac{1}{x}$$
$$\sin x$$ $$\cos x$$
$$\cos x$$ $$-\sin x$$
$$\text{tg}\, x$$ $$\frac{1}{\cos^2x}$$
$$\text{ctg}\, x$$ $$-\frac{1}{\sin^2x}$$
$$\arcsin x$$ $$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\arccos x$$ $$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\text{arctg}\, x$$ $$\frac{1}{1+x^2}$$
$$\text{arcctg}\, x$$ $$-\frac{1}{1+x^2}$$

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

Для любых двух точек $$A(x_0;f(x_0))$$ и $$B(x_0+\Delta x;f(x_0+\Delta x))$$ графика функции $$y=f(x)$$ имеет место $$\text{tg}\,\alpha=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x},$$ где $$\alpha$$ — угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то $$\Delta x$$ неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A.

Производная $$f^{\prime}(x_0)$$ функции $$y=f(x)$$ в точке $$x_0$$ равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной к графику дифференцируемой функции

$$y-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$$

Физический смысл производной

Пусть материальная точка движется по координатной прямой, подчиняясь закону $$x=x(t),$$ т.е. координата этой точки $$x$$ – известная функция времени $$t.$$

Физический смысл производной состоит в том, что производная от координаты по времени есть мгновенная скорость: $$v(t)=x^{\prime}_t$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!