Производная сложной функции

Определение

Сложная функция – это функция (внешняя функция), аргументом которой является другая функция (внутренняя функция).

Строгое определение

Пусть функция $$x=\phi(t)$$ определена на множестве $$T$$ и $$X$$ – множество значений данной функции. Пусть множество $$X$$ является областью определения функции $$y=f(x).$$ Поставим  в соответствие каждому $$t\in T$$ число $$f[\phi(t)].$$ Тем самым на множестве $$T$$ будет задана функция $$y=f[\phi(t)].$$ Ее называют сложной функцией или композицией (суперпозицией) функций.

Здесь $$y=f(x)$$ — внешняя функция, а $$x=\phi(t)$$ — внутренняя функция.

Теорема

Если функция $$x=\phi(t)$$ имеет производную в точке $$t\in T,$$ а функция $$y=f(x)$$ имеет производную в точке $$x\in X,$$ то сложная функция $$y=f[\phi(t)]$$ имеет производную (по $$t$$) в точке $$t$$ и справедливо равенство $$y^{\prime}_t=y^{\prime}_x x^{\prime}_t=f'(x)\phi^{\prime}(t).$$

Нахождение производной сложной функции сравнимо с извлечением матрешек. Сначала находится производная внешней функции (открывается большая матрешка). Она умножается на производную более внутренней функции (матрешка чуть меньше), которая, в свою очередь, умножается на производную еще более внутренней функции (еще меньшая матрешка) и так далее (самая маленькая матрешка). При нахождении производных функций, входящих в сложную функцию, пользуются правилами дифференцирования и таблицей производных.

Рассмотрим нахождение производной суперпозиции функций (сложной функции) на примерах.

Примеры

1. Найти производную сложной функции $$y=\arccos(\ln\sqrt{1+x^2}).$$

$$\arccos$$ — внешняя функция;

$$\ln$$ — более внутренняя функция;

$$\sqrt{}$$ — еще более внутренняя функция;

$$1+x^2$$ — самая внутренняя функция.

$$y^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-\ln^2\sqrt{1+x^2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot2x$$

После элементарных преобразований получим

$$y^{\prime}=-\frac{2x}{(1+x^2)\sqrt{4-\ln^2(1+x^2)}}$$

2. Найти производную сложной функции $$y=x[\sin(\ln x)-\cos(\ln x)]$$

$$\sin,\;\cos$$ — внешние функции;

$$\ln$$ — внутренняя функция.

$$y^{\prime}=x^{\prime}\cdot[\sin(\ln x)-\cos(\ln x)]+x\cdot[\sin(\ln x)-\cos(\ln x)]^{\prime}=$$

$$=\sin(\ln x)-\cos(\ln x)+x\cdot\left [\cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x}-(-\sin(\ln x))\cdot\frac{1}{x} \right ]=$$

$$=\sin(\ln x)-\cos(\ln x)+\cos(\ln x)+\sin(\ln x)=2\sin(\ln x)$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!