Определение
Сложная функция – это функция (внешняя функция), аргументом которой является другая функция (внутренняя функция).
Строгое определение
Пусть функция $$x=\phi(t)$$ определена на множестве $$T$$ и $$X$$ – множество значений данной функции. Пусть множество $$X$$ является областью определения функции $$y=f(x).$$ Поставим в соответствие каждому $$t\in T$$ число $$f[\phi(t)].$$ Тем самым на множестве $$T$$ будет задана функция $$y=f[\phi(t)].$$ Ее называют сложной функцией или композицией (суперпозицией) функций.
Здесь $$y=f(x)$$ – внешняя функция, а $$x=\phi(t)$$ – внутренняя функция.
Теорема
Если функция $$x=\phi(t)$$ имеет производную в точке $$t\in T,$$ а функция $$y=f(x)$$ имеет производную в точке $$x\in X,$$ то сложная функция $$y=f[\phi(t)]$$ имеет производную (по $$t$$) в точке $$t$$ и справедливо равенство $$y^{\prime}_t=y^{\prime}_x x^{\prime}_t=f'(x)\phi^{\prime}(t).$$
Нахождение производной сложной функции сравнимо с извлечением матрешек. Сначала находится производная внешней функции (открывается большая матрешка). Она умножается на производную более внутренней функции (матрешка чуть меньше), которая, в свою очередь, умножается на производную еще более внутренней функции (еще меньшая матрешка) и так далее (самая маленькая матрешка). При нахождении производных функций, входящих в сложную функцию, пользуются правилами дифференцирования и таблицей производных.
Рассмотрим нахождение производной суперпозиции функций (сложной функции) на примерах.
Примеры
1. Найти производную сложной функции $$y=\arccos(\ln\sqrt{1+x^2}).$$
$$\arccos$$ – внешняя функция;
$$\ln$$ – более внутренняя функция;
$$\sqrt{}$$ – еще более внутренняя функция;
$$1+x^2$$ – самая внутренняя функция.
$$y^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-\ln^2\sqrt{1+x^2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot2x$$
После элементарных преобразований получим
$$y^{\prime}=-\frac{2x}{(1+x^2)\sqrt{4-\ln^2(1+x^2)}}$$
2. Найти производную сложной функции $$y=x[\sin(\ln x)-\cos(\ln x)]$$
$$\sin,\;\cos$$ – внешние функции;
$$\ln$$ – внутренняя функция.
$$y^{\prime}=x^{\prime}\cdot[\sin(\ln x)-\cos(\ln x)]+x\cdot[\sin(\ln x)-\cos(\ln x)]^{\prime}=$$
$$=\sin(\ln x)-\cos(\ln x)+x\cdot\left [\cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x}-(-\sin(\ln x))\cdot\frac{1}{x} \right ]=$$
$$=\sin(\ln x)-\cos(\ln x)+\cos(\ln x)+\sin(\ln x)=2\sin(\ln x)$$