Простые и составные числа. Признаки делимости

Простые и составные числа

Натуральное число p, отличное от 1, называется простым, если оно имеет только два делителя: 1 и p.

Натуральное число q, отличное от 1, называется составным, если оно помимо 1 и q имеет еще хотя бы один делитель.

Теорема: Каждое, отличное от единицы, натуральное число разлагается на простые множители и это разложение единственно.

Таблица простых чисел (до 200)
23571113171923
293137414347535961
67717379838997101103
107109113127131137139149151
157163173179181191193197199

Число называется четным, если оно делится нацело на 2. Число называется нечетным, если оно не делится нацело на 2.

Признаки делимости

Натуральное число $$n=a_{k}a_{k-1}\ldots a_{1}a_{0}=a_{k}\cdot10^k+a_{k-1}\cdot10^{k-1}+\cdots +a_{1}\cdot10+a_{0}$$ делится…

на 2 (на 5)

на 2 (на 5) тогда и только тогда, когда его последняя цифра $$(a_0)$$ делится на 2 (на 5) или равна нулю

на 3 (на 9)

на 3 (на 9) тогда и только тогда, когда сумма всех цифр этого числа делится на 3 (на 9)

на 4

на 4 тогда и только тогда, когда число, представляемое двумя последними цифрами $$(a_{1}\cdot10+a_{0})$$ делится на 4 или последние две цифры нули

на 6

на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3

на 7

на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры $$(a_{k}a_{k-1}\ldots a_{1}-2a_{0})$$ делится на 7

на 8

на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры $$(a_{2}a_{1}a_{0})$$ — нули или образуют число $$(a_{2}\cdot10^2+a_{1}\cdot10+a_{0}),$$ которое делится на 8

на 10

на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль

на 11

на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр на нечетных местах либо равна сумме цифр на четных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на 11

на 12

на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4

на 13

на 13 тогда и только тогда, когда это число без последней цифры $$(a_{k}a_{k-1}…a_{1}),$$ сложенное с учетверённой последней цифрой $$(4a_{0}),$$ кратно 13, т.е. $$a_{k}a_{k-1}…a_{1}+4a_{0}$$ делится на 13

на 14

на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7

на 15

на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5

на 17

на 17 тогда и только тогда, когда результат вычитания упятеренной последней цифры из этого числа без последней цифры $$(a_{k}a_{k-1}\ldots a_{1}-5a_{0})$$ делится на 17

на 19

на 19 тогда и только тогда, когда это число без последней цифры $$(a_{k}a_{k-1}…a_{1}),$$ сложенное с удвоенной последней цифрой $$(2a_{0}),$$ кратно 19, т.е. $$a_{k}a_{k-1}…a_{1}+2a_{0}$$ делится на 19

на n-ю степень двойки

на n-ю степень двойки $$(2^n)$$ тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень

на n-ю степень пятёрки

на n-ю степень пятёрки $$(5^n)$$ тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень

Проверьте свои знания в онлайн тестах по арифметике: выбор 1 правильного ответа; соответствие логических пар; числовой ответ.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.