Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами

Повторение

Предлагаем вспомнить материал по теме: Многочлены

Теорема

Если многочлен $$\text{P}_{n}(x)=\text{a}_{n}x^n+\text{a}_{n-1}x^{n-1}+$$…$$+\text{a}_{2}x^2+\text{a}_{1}x+\text{a}_0$$ с целыми коэффициентами имеет рациональный корень $$x_0=\frac{p}{q},$$ то число $$p$$ является делителем числа $$\text{a}_{0}$$ (свободного члена), а число $$q$$ является делителем числа $$\text{a}_n$$ (старшего коэффициента).

Пример

Найти рациональные корни многочлена $$4x^4-16x^3+3x^2+4x-1=0.$$

Решение

Рациональные корни уравнения, если они есть, находятся среди чисел: $$\pm\frac{1}{2};\pm\frac{1}{4}.$$

Осталось лишь проверить, подстановкой в исходное уравнение:

$$P(\frac{1}{2})=4\cdot(\frac{1}{2})^4-16\cdot(\frac{1}{2})^3+3\cdot(\frac{1}{2})^2+4\cdot\frac{1}{2}-1=\frac{1}{4}-2+\frac{3}{4}+2-1=0$$

$$P(-\frac{1}{2})=4\cdot(-\frac{1}{2})^4-16\cdot(-\frac{1}{2})^3+3\cdot(-\frac{1}{2})^2-4\cdot\frac{1}{2}-1=\frac{1}{4}+2+\frac{3}{4}-2-1=0$$

$$P(\frac{1}{4})=4\cdot(\frac{1}{4})^4-16\cdot(\frac{1}{4})^3+3\cdot(\frac{1}{4})^2+4\cdot\frac{1}{4}-1=\frac{1}{64}-\frac{1}{4}+\frac{3}{16}+1-1\neq0$$

$$P(-\frac{1}{4})=4\cdot(-\frac{1}{4})^4-16\cdot(-\frac{1}{4})^3+3\cdot(-\frac{1}{4})^2-4\cdot\frac{1}{4}-1\neq0$$

Т.о., нашли два рациональных корня $$x_1=\frac{1}{2}$$ и $$x_2=-\frac{1}{2}$$

Ответ: $$\pm\frac{1}{2}$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

Теги: