Степенная функция

Степенной функцией называется функция вида $$y=x^{\alpha}.$$

Виды графиков степенной функции в зависимости от $$\alpha:$$

1. $$\alpha=n$$ ($$n\geqslant2$$ — натуральное число).

Такая степенная функция определена при любых значениях переменной $$x.$$ График функции $$y=x^n$$ проходит через точку $$(1;1)$$ и касается оси абсцисс в начале координат.

График при четных $$n$$

График степенной функции. Четные n

График степенной функции при четных $$n.$$ $$y=x^2, y=x^4.$$

График при нечетных $$n$$

График степенной функции. Нечетные n

График степенной функции при нечетных $$n.$$ $$y=x^3, y=x^5.$$

2. $$\alpha=-n$$ $$(n\in \mathbb{N}).$$

Такая степенная функция определена при $$x\in(-\infty;0)\cup(0;\infty).$$ График функции $$y=\frac{1}{x^n}$$ проходит через точку $$(1;1).$$

Графики функций при $$n=1, n=2, n=3$$

График степенной функции. Отрицательная степень

Графики степенных функций $$y=\frac{1}{x}, y=\frac{1}{x^2}, y=\frac{1}{x^3}.$$

3. $$\alpha=r$$ ($$r=\frac{m}{n},$$ $$m$$ и $$n$$ — взаимнопростые натуральные числа).

Такая степенная функция имеет нуль в начале координат, а ее график проходит через точку $$(1;1).$$ При четном $$n$$ степенная функция $$y=x^{\frac{m}{n}}$$ определена на множестве $$[0;\infty),$$ а при нечетном $$n$$ — на множестве $$\mathbb{R}$$ всех действительных чисел. Графики функций при различных $$m$$ и $$n$$

Степенная функция y=x^{1/2}

Степенная функция $$y=x^{\frac{1}{2}}.$$

 

Степенная функция y=x^{3/2}

Степенная функция $$y=x^{\frac{3}{2}}.$$

 

Степенная функция y=x^{1/3}

Степенная функция $$y=x^{\frac{1}{3}}.$$

 

Степенная функция y=x^{2/3}

Степенная функция $$y=x^{\frac{2}{3}}.$$

 

Степенная функция y=x^{5/3}

Степенная функция $$y=x^{\frac{5}{3}}.$$

4. $$\alpha=q$$ ($$q=\frac{m}{n} <0,$$ $$m$$ и $$n$$ - взаимнопростые целые числа, $$n\neq-1$$).

При четном $$n$$ функция определена на множестве $$(0;\infty),$$ а при нечетном $$n$$ — на множестве $$(-\infty;0)\cup(0;\infty).$$ График функции проходит через точку $$(1;1).$$ Графики при различных $$m$$ и $$n$$

Степенная функция. Отрицательная дробная степень

Степенные функции $$y=x^{-\frac{1}{2}}, y=x^{-\frac{1}{3}}, y=x^{-\frac{2}{3}}, y=x^{-\frac{3}{2}}.$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.