Степенной функцией называется функция вида $$y=x^{\alpha}.$$
Виды графиков степенной функции в зависимости от $$\alpha:$$
1. $$\alpha=n$$ ($$n\geqslant2$$ – натуральное число).
Такая степенная функция определена при любых значениях переменной $$x.$$ График функции $$y=x^n$$ проходит через точку $$(1;1)$$ и касается оси абсцисс в начале координат.
График при четных $$n$$
$$y=x^2, y=x^4.$$
График при нечетных $$n$$
$$y=x^3, y=x^5.$$
2. $$\alpha=-n$$ $$(n\in \mathbb{N}).$$
Такая степенная функция определена при $$x\in(-\infty;0)\cup(0;\infty).$$ График функции $$y=\frac{1}{x^n}$$ проходит через точку $$(1;1).$$
Графики функций при $$n=1, n=2, n=3$$
$$y=\frac{1}{x}, y=\frac{1}{x^2}, y=\frac{1}{x^3}.$$
3. $$\alpha=r$$ ($$r=\frac{m}{n},$$ $$m$$ и $$n$$ – взаимнопростые натуральные числа).
Такая степенная функция имеет нуль в начале координат, а ее график проходит через точку $$(1;1).$$ При четном $$n$$ степенная функция $$y=x^{\frac{m}{n}}$$ определена на множестве $$[0;\infty),$$ а при нечетном $$n$$ – на множестве $$\mathbb{R}$$ всех действительных чисел. Графики функций при различных $$m$$ и $$n$$
$$y=x^{\frac{1}{2}}.$$
$$y=x^{\frac{3}{2}}.$$
$$y=x^{\frac{1}{3}}.$$
$$y=x^{\frac{2}{3}}.$$
$$y=x^{\frac{5}{3}}.$$
4. $$\alpha=q$$ ($$q=\frac{m}{n} <0,$$ $$m$$ и $$n$$ – взаимнопростые целые числа, $$n\neq-1$$).
При четном $$n$$ функция определена на множестве $$(0;\infty),$$ а при нечетном $$n$$ – на множестве $$(-\infty;0)\cup(0;\infty).$$ График функции проходит через точку $$(1;1).$$ Графики при различных $$m$$ и $$n$$
$$y=x^{-\frac{1}{2}}, y=x^{-\frac{1}{3}}, y=x^{-\frac{2}{3}}, y=x^{-\frac{3}{2}}.$$