Так как геометрически значение обратной тригонометрической функции связано с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку, то названия обратных тригонометрических функций образуются следующим образом: приставка «арк-» (от латинского arc — дуга) + соответствующие им названия тригонометрических функций.
Арксинус
Арксинусом числа $$a$$ называется такое значение угла $$\alpha,$$ для которого $$\sin \alpha=a,\;|a|\leqslant 1,\;\alpha\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$$
- Областью определения функции арксинус является отрезок $$[-1;1].$$
- Областью значений функции арксинус является отрезок $$[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$$
- Арксинус строго возрастающая функция.
- $$\sin \left (\arcsin a \right )=a,\;|a|\leqslant 1.$$
- $$\arcsin\left (\sin \alpha \right )=\alpha,\;\alpha\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$$
- Арксинус является нечетной функцией: $$\arcsin(-a)=-\arcsin a,\;|a| \leqslant 1.$$
- $$\arcsin a>0,\;a\in(0;1].$$
- $$\arcsin a=0,\;a=0.$$
- $$\arcsin a<0,\;a\in[-1;0).$$
Арккосинус
Арккосинусом числа $$a$$ называется такое значение угла $$\alpha,$$ для которого $$\cos \alpha=a,\;|a|\leqslant 1,\;\alpha\in[0;\pi].$$
- Областью определения функции арккосинус является отрезок $$[-1;1].$$
- Областью значений функции арккосинус является отрезок $$[0;\pi].$$
- Арккосинус строго убывающая функция.
- $$\cos \left (\arccos a \right )=a,\;|a|\leqslant 1.$$
- $$\arccos\left (\cos \alpha\right )=\alpha,\;\alpha\in[0;\pi].$$
- Арккосинус является индифферентной функцией: $$\arccos (-a)=\pi-\arccos a,\;|a|\leqslant 1.$$ Функция центрально-симметрична относительно точки $$\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right ).$$
- $$\arccos a>0,\;a\in[-1;1).$$
- $$\arccos a=0,\;a=1.$$
Арктангенс
Арктангенсом числа $$a$$ называется такое значение угла $$\alpha,$$ для которого $$\text{tg}\, \alpha=a,\;a\in\mathbb{R},\;\alpha\in\left (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ).$$
- Областью определения функции арктангенс является вся числовая прямая: $$\mathbb{R}.$$
- Областью значений функции арктангенс является интервал $$\left (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ).$$
- Арктангенс строго возрастающая функция.
- $$\text{tg}\left (\text{arctg}\,a \right ) =a,\;a\in\mathbb{R}.$$
- $$\text{arctg}\left (\text{tg}\,\alpha \right ) =\alpha,\;\alpha\in\left ( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ).$$
- Арктангенс является нечетной функцией: $$\text{arctg}\left (-a \right ) =-\text{arctg}\,a,\;a\in\mathbb{R}.$$
- $$\text{arctg}\,a>0,\;a\in(0;\infty ).$$
- $$\text{arctg}\,a=0,\;a=0.$$
- $$\text{arctg}\,a<0,\;a\in(-\infty;0).$$
Арккотангенс
Арккотангенсом числа $$a$$ называется такое значение угла $$\alpha,$$ для которого $$\text{ctg}\, \alpha=a,\;a\in\mathbb{R},\;\alpha\in\left (0;\pi \right ).$$
- Областью определения функции арккотангенс является вся числовая прямая: $$\mathbb{R}.$$
- Областью значений функции арккотангенс является интервал $$\left (0;\pi \right ).$$
- Арккотангенс строго убывающая функция.
- $$\text{ctg}\left (\text{arcctg}\,a \right ) =a,\;a\in\mathbb{R}.$$
- $$\text{arcctg}\left (\text{ctg}\,\alpha \right ) =\alpha,\;\alpha\in\left (0;\pi \right ).$$
- Арккотангенс является индифферентной функцией: $$\text{arcctg}\left (-a \right ) =\pi-\text{arcctg}\,a,\;a\in\mathbb{R}.$$ Функция центрально-симметрична относительно точки $$\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right ).$$
- $$\text{arcctg}\,a>0,\;a\in\mathbb{R}.$$
Основные соотношения
- $$\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi}{2},\;|a|\leqslant 1.$$
- $$\text{arctg}\,a+\text{arcctg}\,a=\frac{\pi}{2},\;a\in\mathbb{R}.$$