Тригонометрия

Свойства обратных тригонометрических функций

Так как геометрически значение обратной тригонометрической функции связано с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку, то названия обратных тригонометрических функций образуются следующим образом: приставка «арк-» (от латинского arc — дуга) + соответствующие им названия  тригонометрических функций.

Арксинус

Арксинусом числа $$a$$ называется такое значение угла $$\alpha,$$ для которого $$\sin \alpha=a,\;|a|\leqslant 1,\;\alpha\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$$

  • Областью определения функции арксинус является отрезок $$[-1;1].$$
  • Областью значений функции арксинус является отрезок $$[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$$
  • Арксинус строго возрастающая функция.
  • $$\sin \left (\arcsin a \right )=a,\;|a|\leqslant 1.$$
  • $$\arcsin\left (\sin \alpha \right )=\alpha,\;\alpha\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$$
  • Арксинус является нечетной функцией: $$\arcsin(-a)=-\arcsin a,\;|a| \leqslant 1.$$
  • $$\arcsin a>0,\;a\in(0;1].$$
  • $$\arcsin a=0,\;a=0.$$
  • $$\arcsin a<0,\;a\in[-1;0).$$

Арккосинус

Арккосинусом числа $$a$$ называется такое значение угла $$\alpha,$$ для которого $$\cos \alpha=a,\;|a|\leqslant 1,\;\alpha\in[0;\pi].$$

  • Областью определения функции арккосинус является отрезок $$[-1;1].$$
  • Областью значений функции арккосинус является отрезок $$[0;\pi].$$
  • Арккосинус строго убывающая функция.
  • $$\cos \left (\arccos a \right )=a,\;|a|\leqslant 1.$$
  • $$\arccos\left (\cos \alpha\right )=\alpha,\;\alpha\in[0;\pi].$$
  • Арккосинус является индифферентной функцией: $$\arccos (-a)=\pi-\arccos a,\;|a|\leqslant 1.$$ Функция центрально-симметрична относительно точки $$\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right ).$$
  • $$\arccos a>0,\;a\in[-1;1).$$
  • $$\arccos a=0,\;a=1.$$

Арктангенс

Арктангенсом числа $$a$$ называется такое значение угла $$\alpha,$$ для которого $$\text{tg}\, \alpha=a,\;a\in\mathbb{R},\;\alpha\in\left (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ).$$

  • Областью определения функции арктангенс является вся числовая прямая: $$\mathbb{R}.$$
  • Областью значений функции арктангенс является интервал $$\left (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ).$$
  • Арктангенс строго возрастающая функция.
  • $$\text{tg}\left (\text{arctg}\,a \right ) =a,\;a\in\mathbb{R}.$$
  • $$\text{arctg}\left (\text{tg}\,\alpha \right ) =\alpha,\;\alpha\in\left ( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ).$$
  • Арктангенс является нечетной функцией: $$\text{arctg}\left (-a \right ) =-\text{arctg}\,a,\;a\in\mathbb{R}.$$
  • $$\text{arctg}\,a>0,\;a\in(0;\infty ).$$
  • $$\text{arctg}\,a=0,\;a=0.$$
  • $$\text{arctg}\,a<0,\;a\in(-\infty;0).$$

Арккотангенс

Арккотангенсом числа $$a$$ называется такое значение угла $$\alpha,$$ для которого $$\text{ctg}\, \alpha=a,\;a\in\mathbb{R},\;\alpha\in\left (0;\pi \right ).$$

  • Областью определения функции арккотангенс является вся числовая прямая: $$\mathbb{R}.$$
  • Областью значений функции арккотангенс является интервал $$\left (0;\pi \right ).$$
  • Арккотангенс строго убывающая функция.
  • $$\text{ctg}\left (\text{arcctg}\,a \right ) =a,\;a\in\mathbb{R}.$$
  • $$\text{arcctg}\left (\text{ctg}\,\alpha \right ) =\alpha,\;\alpha\in\left (0;\pi \right ).$$
  • Арккотангенс является индифферентной функцией: $$\text{arcctg}\left (-a \right ) =\pi-\text{arcctg}\,a,\;a\in\mathbb{R}.$$ Функция центрально-симметрична относительно точки $$\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right ).$$
  • $$\text{arcctg}\,a>0,\;a\in\mathbb{R}.$$

Основные соотношения

  • $$\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi}{2},\;|a|\leqslant 1.$$
  • $$\text{arctg}\,a+\text{arcctg}\,a=\frac{\pi}{2},\;a\in\mathbb{R}.$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!