Уравнения с модулем

Несколько основных способов решения уравнений с модулем

Рассмотрим основные способы решения уравнений с модулем на примерах.

По определению модуля

$$|2-x|=2x-10$$

Определение модуля: $$|a|=\left[\begin{matrix} a ,& a\geqslant 0\\ -a, & a<0 \end{matrix}\right.$$ $$\left[\begin{matrix} 2-x=2x-10 ,& 2-x\geqslant 0\\ x-2=2x-10, & 2-x<0 \end{matrix}\right.$$ $$\left[\begin{matrix} 3x=12 ,& x\leqslant 2\\ x=8, & x>2 \end{matrix}\right.$$

$$\left[\begin{matrix} x=4 ,& x\leqslant 2\\ x=8, & x>2 \end{matrix}\right.$$

Очевидно, что $$x=4$$ — посторонний корень, так как $$4>2$$ и не удовлетворяет $$x\leqslant 2.$$

Таким образом, решением исходного уравнения будет $$x=8$$

Ответ: 8.

Возведение в квадрат

$$|2-x|=2x-10$$

Возведем в квадрат обе части уравнения

$$|2-x|^2=(2x-10)^2$$

$$(2-x)^2=(2x-10)^2$$

$$4+x^2-4x=4x^2+100-40x$$

$$3x^2-36x+96=0$$

$$x^2-12x+32=0$$

Получили квадратное уравнение, которое можно решить любым из известных вам способов

$$x_1=4, x_2=8$$

Так как при возведении в квадрат мы могли получить посторонние корни, то необходимо выполнить проверку найденных корней, подстановкой их в исходное уравнение.

Проверкой убеждаемся, что $$x=4$$ — посторонний корень.

Ответ: 8.

Метод интервалов

Данный метод заключается в следующем:

1) определяются нули каждого из модулей, входящего в уравнение (приравниваем нулю выражения под модулем)

2) На числовой прямой отмечаются найденные значения, разбивая при этом прямую на промежутки

3) Решают уравнение на каждом из промежутков

$$|2-x|=2x-10$$

$$2-x=0$$

$$x=2$$

Число 2 разбивает числовую прямую на два промежутка $$(-\infty;2]\cup(2;+\infty)$$

I. Рассмотрим решение при $$x\in(-\infty;2]$$

$$|2-x|=2-x$$

$$2-x=2x-10$$

$$x=4\notin(-\infty;2]$$ — посторонний корень

II. Рассмотрим решение при $$x\in(2;+\infty)$$

$$|2-x|=x-2$$

$$x-2=2x-10$$

$$x=8\in(2;+\infty)$$ — корень уравнения

Ответ: 8.

При решении уравнений рекомендуем учитывать свойства функций и выделять дополнительные условия

$$|2-x|=2x-10$$

Так как модуль является неотрицательной величиной, то и правая часть уравнения должна быть неотрицательной, то есть $$2x-10\geqslant 0.$$ Значит дополнительным условием будет $$x\geqslant 5.$$ При таких значениях $$x$$ выражение под модулем принимает отрицательное значение и модуль раскроется с противоположным знаком.

$$x-2=2x-10$$

$$x=8>5$$ (удовлетворяет дополнительному условию) — корень

Ответ: 8.

Графический способ решения

Графический способ заключается в следующем:

1) Левая и правая части уравнения — две функции от переменной $$x.$$

2) Строятся графики каждой из функций

3) Точки пересечения графиков функций являются искомым решением

$$|2-x|=2x-10$$

$$y=|2-x|=\left[\begin{matrix} 2-x ,& x\leqslant 2\\ x-2, & x>2 \end{matrix}\right.,$$ $$y=2x-10$$

графический способ

Точкой пересечения графиков данных функций будет точка $$(8;6),$$ то есть $$x=8$$

Ответ: 8.

Графический способ уместен, когда необходимо определить количество корней, не находя их точных значений. Также данный способ довольно часто применяется при решении параметрических уравнений.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

Теги: