Различные задания

Задание 1 (произведение, транспонирование и сумма матриц)

Рекомендуем ознакомиться с теоретическими материалами по линейной алгебре: элементы теории матриц. Найти значение выражения $$A^2B-2B+C^{T},$$ если $$A=begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\ -1 & 0& 3\ 4 & 5 & 2 end{pmatrix}, B=begin{pmatrix} 1 & 5\ 0 & 1\ 3& 0 end{pmatrix}, C=begin{pmatrix} -1 & 4 & -10\ 0& 2 & 5 end{pmatrix}$$

Задание 2 (определители 3 и 4 порядка)

Перед тем, как приступать к решению задания, рекомендуем ознакомиться с элементами теории определителей. Вычислить определители: $$begin{vmatrix} 2 & 0 &0 \ 1 & 3 & 4\ 1 & 3 & 0 end{vmatrix},; begin{vmatrix} 1 & 0& 1 & 0\ 1 & 2& 1 & 1\ 0 & 1& 0 & 0\ 2 & 0& 1 &...

Задание 3 (формулы сокращенного умножения, степени)

Упростить выражение: $$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}$$ Решение: Рекомендуем ознакомиться с материалами по теме: Формулы сокращенного умножения, Степени и их свойства. $$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}=$$ $$=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}+1-1=$$ $$=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-((2^{16})^2-1^2)-1=$$ $$=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-(2^{16}+1)(2^{16}-1)-1=$$ $$=(2^{16}+1)left -1=$$ $$=(2^{16}+1)(2^8+1)left -1=$$ $$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)left -1=$$ $$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)left...

Задание 4 (уравнение 4-й степени)

Решить уравнение: $$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1)$$ Решение: Материалы по теме: Формулы сокращенного умножения, Корни квадратного уравнения. $$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2-13(x-1)(x^2+x+1)=0$$ Сделаем замену: $$x^2+x+1=a$$ $$x-1=b$$ Получили квадратное уравнение: $$2a^2-13ab-7b^2=0$$ $$a^2-2cdot acdotfrac{13}{4}b-frac{7}{2}b^2=0$$ $$left (a^2-2cdot acdotfrac{13}{4}b+frac{169}{16}b^2 right...

Задание 5 (Тригонометрия)

Найти значение выражения: $$text{ctg}left (arccos(-frac{1}{3}) right )$$ Рекомендуем ознакомиться с основными формулами раздела по тригонометрии: определение тригонометрических функций, свойства обратных тригонометрических функций. Решение: $$text{ctg}left (arccos(-frac{1}{3}) right )=text{ctg}(pi-arccosfrac{1}{3})=-text{ctg}(arccosfrac{1}{3})$$ Замена: $$arccosfrac{1}{3}=tin(0;frac{pi}{2})Rightarrow -text{ctg} t=?$$ Так как угол расположен в первой четверти и $$cos...

Задание 6 (Тригонометрия)

Доказать, что: $$sin^6x+cos^6xgeqslant 0.25$$ Рекомендуем ознакомиться с основными формулами: Формулы сокращенного умножения, Тригонометрические формулы. Доказательство: $$sin^6x+cos^6x=(sin^2x)^3+(cos^2x)^3=left ( sin^2x+cos^2x right )left ( (sin^2x)^2+(cos^2x)^2-sin^2xcos^2x right )=$$ $$=left ( (sin^2x)^2+(cos^2x)^2+2sin^2xcos^2x right )-3sin^2xcos^2x=$$ $$=left (sin^2x+cos^2x right )^2-3sin^2xcos^2x=1-3cdot(frac{1}{2}cdot2sin xcos x)^2=$$ $$=1-frac{3}{4}cdotsin^22 x$$ $$sin^22xleqslant...

Задание 7 (числовое неравенство, метод интервалов)

Решить неравенство: $$(4+2x)(4+x)(1-x)(x-3)geqslant 18$$ Решение: $$2(x+2)(x+4)(-1)(x-1)(x-3)-18geqslant 0$$ Разделим обе части неравенства на $$-2$$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный). $$(x+2)(x+4)(x-1)(x-3)+9leqslant 0$$ Заметим, что если сложить свободные члены в 1-й и 3-й скобках и во 2-й и в 4-й скобках,...

Задание 8 (Прогрессии. Геометрия)

Числа, выражающие длины сторон прямоугольного треугольника, образуют арифметическую прогрессию. Меньший катет этого треугольника равен $$a.$$ Найти площадь треугольника. Решение: $$a_{1},a_{2}, a_{3}$$ - арифметическая прогрессия. $$a_{2}=a_{1}+d,; a_{3}=a_{1}+2d$$ $$a_{1}$$ и $$a_{2}$$ - катеты, $$a_{3}$$ - гипотенуза прямоугольного треугольника. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: $$a_{3}^2=a_{1}^2+a_{2}^2$$

Задание 9 (Геометрия. Тригонометрия. Прогрессии)

Может ли существовать прямоугольный треугольник, у которого синусы углов образуют арифметическую прогрессию? Решение: Очевидно, что это не может быть равнобедренный треугольник, поэтому если один из углов будет равен  $$alpha;left (0<alpha<frac{pi}{4} right ),$$ то другой угол будет  $$frac{pi}{2}-alpha.$$ Так как в первой четверти синус возрастает, то расположение членов предполагаемой арифметической прогрессии будет следующим:

Задание 10 (Графики)

Построить график функции: $$y=sqrt{1+tg^2x}cdotcos xcdotsqrt{|x|}$$ Решение: Преобразуем исходную функцию: $$y=sqrt{1+tg^2x}cdotcos xcdotsqrt{|x|},;xneqfrac{pi}{2}+pi n,; ninmathbb{Z}$$ $$y=frac{1}{sqrt{cos^2x}}cdotcos xcdotsqrt{|x|},;xneqfrac{pi}{2}+pi n,; ninmathbb{Z}.$$ $$y=text{sgn}left (cos x right )cdotsqrt{|x|},;xneqfrac{pi}{2}+pi n,; ninmathbb{Z}.$$ $$text{sgn}(x)$$- кусочно-постоянная функция сигнум, которая определяется следующим образом: $$y=left{begin{matrix} 1, & x>0\ 0,&x=0\-1,...