Различные задания

Задание 1 (произведение, транспонирование и сумма матриц)

Рекомендуем ознакомиться с теоретическими материалами по линейной алгебре: элементы теории матриц. Найти значение выражения $$A^2B-2B+C^{T},$$ если $$A=begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\ -1 & 0& 3\ 4 & 5 & 2 end{pmatrix}, B=begin{pmatrix} 1 & 5\ 0 & 1\ 3& 0 end{pmatrix}, C=begin{pmatrix} -1 & 4 & -10\ 0& 2 & 5 end{pmatrix}$$ Решение: $$A^2=begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\ -1 & 0& 3\ 4 & 5 &...

Задание 2 (определители 3 и 4 порядка)

Перед тем, как приступать к решению задания, рекомендуем ознакомиться с элементами теории определителей. Вычислить определители: $$begin{vmatrix} 2 & 0 &0 \ 1 & 3 & 4\ 1 & 3 & 0 end{vmatrix},; begin{vmatrix} 1 & 0& 1 & 0\ 1 & 2& 1 & 1\ 0 & 1& 0 & 0\ 2 & 0& 1 & 0 end{vmatrix}$$ Решение: Разложение по первой строке $$begin{matrix} rightarrow\;; \;; end{matrix}begin{vmatrix} 2 &...

Задание 3 (формулы сокращенного умножения, степени)

Упростить выражение: $$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}$$ Решение: Рекомендуем ознакомиться с материалами по теме: Формулы сокращенного умножения, Степени и их свойства. $$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}=$$ $$=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}+1-1=$$ $$=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-((2^{16})^2-1^2)-1=$$ $$=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-(2^{16}+1)(2^{16}-1)-1=$$ $$=(2^{16}+1)left -1=$$ $$=(2^{16}+1)(2^8+1)left -1=$$ $$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)left -1=$$ $$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)left -1=$$ $$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)left -1=$$ $$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)cdot0-1=0-1=-1$$ При решении использованы следующие преобразования: $$1^2=1$$ $$(2^8)^2-1^2=(2^8+1)(2^8-1)$$ $$(2^4)^2-1^2=(2^4+1)(2^4-1)$$ $$(2^2)^2-1^2=(2^2+1)(2^2-1)$$ $$2^2-1^2=(2+1)(2-1)$$

Задание 4 (уравнение 4-й степени)

Решить уравнение: $$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1)$$ Решение: Материалы по теме: Формулы сокращенного умножения, Корни квадратного уравнения. $$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2-13(x-1)(x^2+x+1)=0$$ Сделаем замену: $$x^2+x+1=a$$ $$x-1=b$$ Получили квадратное уравнение: $$2a^2-13ab-7b^2=0$$ $$a^2-2cdot acdotfrac{13}{4}b-frac{7}{2}b^2=0$$ $$left (a^2-2cdot acdotfrac{13}{4}b+frac{169}{16}b^2 right )-frac{169}{16}b^2-frac{7}{2}b^2=0$$ $$left( a-frac{13}{4}b right )^2-frac{169+56}{16}b^2=0$$ $$left( a-frac{13}{4}b right )^2-frac{225}{16}b^2=0$$ $$left( a-frac{13}{4}b right )^2-left (frac{15}{4}b right )^2=0$$ $$left( a-frac{13}{4}b -frac{15}{4}bright )left( a-frac{13}{4}b +frac{15}{4}bright )=0$$ $$left( a-frac{28}{4}b right )left( a+frac{2}{4}bright )=0$$ $$left( a-7b right )left( a+frac{1}{2}bright )=0$$ Обратная замена: $$(x^2+x+1-7x+7)(x^2+x+1+frac{1}{2}x-frac{1}{2})=0$$ $$(x^2-6x+8)(x^2+frac{3}{2}x+frac{1}{2})=0$$ $$x^2-6x+8=0$$ или $$x^2+frac{3}{2}x+frac{1}{2}=0$$ Применим теорему Виета: $$begin{matrix} x^2-6x+8=0 & ; & x^2+frac{3}{2}x+frac{1}{2}=0\ x_{1}+x_{2}=6;;;;;;: & ; &x_{3}+x_{4}= -frac{3}{2};;;, , \ x_{1}cdot...

Задание 5 (Тригонометрия)

Найти значение выражения: $$text{ctg}left (arccos(-frac{1}{3}) right )$$ Рекомендуем ознакомиться с основными формулами раздела по тригонометрии: определение тригонометрических функций, свойства обратных тригонометрических функций. Решение: $$text{ctg}left (arccos(-frac{1}{3}) right )=text{ctg}(pi-arccosfrac{1}{3})=-text{ctg}(arccosfrac{1}{3})$$ Замена: $$arccosfrac{1}{3}=tin(0;frac{pi}{2})Rightarrow -text{ctg} t=?$$ Так как угол расположен в первой четверти и $$cos t=frac{1}{3},$$ то $$sin t =sqrt{1-cos^2t}=sqrt{1-frac{1}{9}}=sqrt{frac{8}{9}}=frac{2sqrt{2}}{3}$$ Тогда: $$-text{ctg}, t=-frac{cos t}{sin t}=-frac{frac{1}{3}}{frac{2sqrt{2}}{3}}=-frac{1}{4}sqrt{2}$$ Значит $$text{ctg}left (arccos(-frac{1}{3}) right )=-frac{1}{4}sqrt{2}$$

Задание 6 (Тригонометрия)

Доказать, что: $$sin^6x+cos^6xgeqslant 0.25$$ Рекомендуем ознакомиться с основными формулами: Формулы сокращенного умножения, Тригонометрические формулы. Доказательство: $$sin^6x+cos^6x=(sin^2x)^3+(cos^2x)^3=left ( sin^2x+cos^2x right )left ( (sin^2x)^2+(cos^2x)^2-sin^2xcos^2x right )=$$ $$=left ( (sin^2x)^2+(cos^2x)^2+2sin^2xcos^2x right )-3sin^2xcos^2x=$$ $$=left (sin^2x+cos^2x right )^2-3sin^2xcos^2x=1-3cdot(frac{1}{2}cdot2sin xcos x)^2=$$ $$=1-frac{3}{4}cdotsin^22 x$$ $$sin^22xleqslant 1Rightarrow 1-frac{3}{4}cdotsin^22 xgeqslant frac{1}{4}$$ Получили $$sin^6x+cos^6xgeqslant 0.25$$ ч.т.д.

Задание 7 (числовое неравенство, метод интервалов)

Решить неравенство: $$(4+2x)(4+x)(1-x)(x-3)geqslant 18$$ Решение: $$2(x+2)(x+4)(-1)(x-1)(x-3)-18geqslant 0$$ Разделим обе части неравенства на $$-2$$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный). $$(x+2)(x+4)(x-1)(x-3)+9leqslant 0$$ Заметим, что если сложить свободные члены в 1-й и 3-й скобках и во 2-й и в 4-й скобках, то получим по 1. Расположим скобки следующим образом: $$(x+2)(x-1)(x+4)(x-3)+9leqslant 0$$ Перемножим двучлены из 1-й и 2-й скобок, а также из 3-й и 4-й скобок: $$(x^2+x-2)(x^2+x-12)+9leqslant 0$$ Замена: $$x^2+x-2=t$$ $$t(t-10)+9leqslant0$$ $$t^2-10t+9leqslant0$$ Рассмотрим уравнение: $$t^2-10t+9=0$$ По теореме Виета: $$t_{1}+t_{2}=10,; t_{1}cdot...

Задание 8 (Прогрессии. Геометрия)

Числа, выражающие длины сторон прямоугольного треугольника, образуют арифметическую прогрессию. Меньший катет этого треугольника равен $$a.$$ Найти площадь треугольника. Решение: $$a_{1},a_{2}, a_{3}$$ - арифметическая прогрессия. $$a_{2}=a_{1}+d,; a_{3}=a_{1}+2d$$ $$a_{1}$$ и $$a_{2}$$ - катеты, $$a_{3}$$ - гипотенуза прямоугольного треугольника. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: $$a_{3}^2=a_{1}^2+a_{2}^2$$ По условию $$a_{1}=aRightarrow a_{2}=a+d,; a_{3}=a+2d$$ Получили квадратное уравнение относительно переменной $$d:$$ $$left (a+2d right )^2=a^2+left ( a+d right )^2$$ Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: $$a^2+4d^2+4ad=a^2+a^2+d^2+2ad$$ Приведем подобные слагаемые: $$3d^2+2ad-a^2=0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $$D_{1}=a^2+3a^2=4a^2=(2a)^2$$ $$d_{1}=frac{-a-2a}{3}=-a$$ -...

Задание 9 (Геометрия. Тригонометрия. Прогрессии)

Может ли существовать прямоугольный треугольник, у которого синусы углов образуют арифметическую прогрессию? Решение: Очевидно, что это не может быть равнобедренный треугольник, поэтому если один из углов будет равен  $$alpha;left (0<alpha<frac{pi}{4} right ),$$ то другой угол будет  $$frac{pi}{2}-alpha.$$ Так как в первой четверти синус возрастает, то расположение членов предполагаемой арифметической прогрессии будет следующим: $$a_{1}=sinalpha;;a_{2}=sinleft (frac{pi}{2}-alpha right );;a_{3}=sinfrac{pi}{2}$$ $$a_{2}=frac{a_{1}+a_{3}}{2}Rightarrow 2a_{2}=a_{1}+a_{3}$$ $$2sinleft ( frac{pi}{2}-alpha right )=sinalpha+sinfrac{pi}{2}$$ $$2cosalpha=sinalpha+1$$ $$sinalpha-2cosalpha=-1$$ По формулам преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в...

Задание 10 (Графики)

Построить график функции: $$y=sqrt{1+tg^2x}cdotcos xcdotsqrt{|x|}$$ Решение: Преобразуем исходную функцию: $$y=sqrt{1+tg^2x}cdotcos xcdotsqrt{|x|},;xneqfrac{pi}{2}+pi n,; ninmathbb{Z}$$ $$y=frac{1}{sqrt{cos^2x}}cdotcos xcdotsqrt{|x|},;xneqfrac{pi}{2}+pi n,; ninmathbb{Z}.$$ $$y=text{sgn}left (cos x right )cdotsqrt{|x|},;xneqfrac{pi}{2}+pi n,; ninmathbb{Z}.$$ $$text{sgn}(x)$$- кусочно-постоянная функция сигнум, которая определяется следующим образом: $$y=left{begin{matrix} 1, & x>0\ 0,&x=0\-1, & x<0end{matrix}right.$$ $$y=left{begin{matrix} sqrt{|x|}, & cos x>0\ -sqrt{|x|}, & cos x<0 end{matrix}right.,;xneqfrac{pi}{2}+pi n,; ninmathbb{Z}.$$ Сначала построим график функции $$y_{1}=sqrt{|x|}$$ Теперь построим график искомой функции $$y=sqrt{1+tg^2x}cdotcos xcdotsqrt{|x|},$$ учитывая, что $$xneqfrac{pi}{2}+pi n,; ninmathbb{Z}.$$