Найти производную
Перед тем, как приступить к решению задания, рекомендуем ознакомиться с таблицей производных, основными правилами дифференцирования, нахождением производной сложной функции и функции, заданной неявно.
а) $$y=4x^5-\frac{2}{x^3}-2\sqrt{x^5}+6x$$
б) $$y=\sin x\cdot\sqrt{1-x^3}$$
в) $$y=\ln \left ( \sin x+\sqrt{1+\sin^2x} \right )$$
г) $$5^x+5^y=\cos y$$
Решение:
а) $$y^{\prime}=4\cdot5\cdot x^{5-1}-2\cdot(-3)\cdot x^{-3-1}-2\cdot \frac{5}{2}\cdot x^{\frac{5}{2}-1}+6\cdot x^{1-1}$$
$$y^{\prime}=20 x^4+\frac{6}{x^4}-5\sqrt{x^3}+6$$
б) $$y^{\prime}={\left (\sin x \right )}^{\prime}\cdot\sqrt{1-x^3}+\sin x\cdot{\left (\sqrt{1-x^3} \right )}^{\prime}$$
$$y^{\prime}=\cos x\cdot\sqrt{1-x^3}+\sin x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^3}}\cdot (-3x^2)$$
$$y^{\prime}=\cos x\cdot\sqrt{1-x^3}-\frac{3x^2\sin x}{2\sqrt{1-x^3}}$$
в) $$y^{\prime}=\frac{1}{\sin x+\sqrt{1+\sin^2x}}\cdot \left ( \cos x+\frac{1}{2\sqrt{1+\sin^2x}}\cdot 2\sin x\cos x \right )$$
$$y^{\prime}=\frac{1}{\sin x+\sqrt{1+\sin^2x}}\cdot \frac{2\cos x\sqrt{1+\sin^2x}+2\cos x\sin x}{2\sqrt{1+\sin^2x}}$$
$$y^{\prime}=\frac{2\cos x\cdot\left (\sqrt{1+\sin^2x}+\sin x \right )}{2\sqrt{1+\sin^2x}\left (\sin x+\sqrt{1+\sin^2x} \right )}$$
$$y^{\prime}=\frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin^2x}}$$
г) $${\left (5^x+5^y \right )}^{\prime}={\left (\cos y \right )}^{\prime}$$
$$5^x \ln5+5^y \ln5 \cdot y^{\prime}=-\sin y \cdot y^{\prime}$$
$$5^y \ln5 \cdot y^{\prime}+\sin y \cdot y^{\prime}=-5^x \ln5$$
$$y^{\prime}\cdot \left (5^y\ln5+\sin y \right )=-5^x\ln5$$
$$y^{\prime}=-\frac{5^x\ln5}{5^y\ln5+\sin y}$$