Аналитическая геометрия

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку x^2-y^2-4x+2y+7=0 привести до найпростішого виду.

Розв’язування.

Згадаємо теорію: Рівняння кривих другого порядку. Коло, Еліпс; Гіпербола; Парабола; Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду. Згадаємо інші приклади: Коло; Еліпс; Парабола.

Після згрупування членів, які містять лише x і y, доповнення до повних квадратів знайдемо (x-2)^2-(y-1)^2+4=0.

Потім позначаємо

\left\{\begin{matrix} x' & = & x & - & 2\\ y' & = & y & - & 1 \end{matrix}\right.

або

\left\{\begin{matrix} x & = & x' & + & 2\\ y & = & y' & + & 1 \end{matrix}\right.

Геометрично це означає, що ми повинні зробити паралельний переніс початку координат в точку O'(2;1). Після операції переносу отримаємо

x'^2-y'^2+4=0

або

\frac{x'^2}{4}-\frac{y'^2}{4}=-1.

Це рівняння гіперболи, центр якої розташований в точці O'(2;1). Оскільки півосі дорівнюють a=b=2, то це рівностороння гіпербола, дійсна (фокальна) вісь якої направлена по O'y'. На ній розташовані фокуси F_1 і F_2 на віддалі c=\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{2} від центра O'. Значить, нові координати фокусів x'=0,\; y'=\pm2\sqrt{2}. На основі формул паралельного переносу запишемо старі координати фокусів: F_1(2;1-2\sqrt{2}),\;F_2(2;1+2\sqrt{2}).

Виконаємо рисунок цієї гіперболи

Паралельний перенос гіперболи

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!