Задание 23 (Найпростіший вид лінії другого порядку)

Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку $3y^2+5x+6y+13=0$ . Визначити вид і розташування лінії, знайти координати фокуса.

Пропонуємо згадати теорію теорію: Рівняння кривих другого порядку. Коло, Еліпс; Гіпербола; Парабола; Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду.

Подивіться інші приклади приведення до канонічного виду: Коло; Еліпс; Гіпербола.

Розв’язування.

Тому що член з $x^2$ відсутній, виділення повного квадрата здійснюємо лише для змінної $y$ :

$3(y+1)^2+5x+10=0$ .

Виносимо також за дужку коефіцієнт при $x$ :

$3(y+1)^2+5(x+2)=0$ .

Позначаємо

$\left\{\begin{matrix} x' & = & x & + & 2\\ y' & = & y & + & 1 \end{matrix}\right.$ або $\left\{\begin{matrix} x & = & x' & - & 2\\ y & = & y' & - & 1 \end{matrix}\right.$

Таким чином, здійснюється паралельний перенос системи координат в точку $O'(-2;-1)$ . В наслідок переносу рівняння набуває виду

$3y'^2+5x'=0$ , або $y'^2=-\frac{5}{3}x'$ .

Звідси слідує, що дана лінія є парабола, вершиною якої є точка $O'(-2;-1)$ . Вона направлена у від’ємному напрямі осі $O'X'$ і симетрична відносно цієї осі. Величина $p=\frac{5}{6},\;p>0$ . Тому фокус має нові координати:

$x'=-\frac{p}{2}=-\frac{5}{12},\;y'=0$ . Тобто $F'(-\frac{5}{12};0)$ .

Його старі координати:

$x=x'-2=-\frac{5}{12}-2=-\frac{29}{12},\;y=y'-1=0-1=-1\Rightarrow F(-\frac{29}{12};-1).$

Якщо в даному рівнянні покласти $y=0$ або $x=0$ , то виявиться, що парабола перетинає вісь $OX$ в точці $x_1=-\frac{13}{5}=-2.6$ , а вісь $OY$ вона не перетинає.