Задание 23 (Найпростіший вид лінії другого порядку)
Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку . Визначити вид і розташування лінії, знайти координати фокуса.
Пропонуємо згадати теорію теорію: Рівняння кривих другого порядку. Коло, Еліпс; Гіпербола; Парабола; Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду.
Подивіться інші приклади приведення до канонічного виду: Коло; Еліпс; Гіпербола.
Розв’язування.
Тому що член з відсутній, виділення повного квадрата здійснюємо лише для змінної
:
.
Виносимо також за дужку коефіцієнт при :
.
Позначаємо
або
Таким чином, здійснюється паралельний перенос системи координат в точку . В наслідок переносу рівняння набуває виду
, або
.
Звідси слідує, що дана лінія є парабола, вершиною якої є точка . Вона направлена у від’ємному напрямі осі
і симетрична відносно цієї осі. Величина
. Тому фокус має нові координати:
. Тобто
.
Його старі координати:
Якщо в даному рівнянні покласти або
, то виявиться, що парабола перетинає вісь
в точці
, а вісь
вона не перетинає.
Зробимо відповідний рисунок