Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку $$3y^2+5x+6y+13=0$$. Визначити вид і розташування лінії, знайти координати фокуса.
Пропонуємо згадати теорію теорію: Рівняння кривих другого порядку. Коло, Еліпс; Гіпербола; Парабола; Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду.
Подивіться інші приклади приведення до канонічного виду: Коло; Еліпс; Гіпербола.
Розв’язування.
Тому що член з $$x^2$$ відсутній, виділення повного квадрата здійснюємо лише для змінної $$y$$:
$$3(y+1)^2+5x+10=0$$.
Виносимо також за дужку коефіцієнт при $$x$$:
$$3(y+1)^2+5(x+2)=0$$.
Позначаємо
$$\left\{\begin{matrix} {x^{\prime}} = x + 2\\ {y^{\prime}} = y + 1 \end{matrix}\right.$$ або $$\left\{\begin{matrix} x = {x^{\prime}} – 2\\ y = {y^{\prime}} – 1 \end{matrix}\right.$$
Таким чином, здійснюється паралельний перенос системи координат в точку $${O^{\prime}}(-2;-1)$$. В наслідок переносу рівняння набуває виду
$$3{y^{\prime}}^2+5{x^{\prime}}=0$$, або $${y^{\prime}}^2=-\frac{5}{3}{x^{\prime}}$$.
Звідси слідує, що дана лінія є парабола, вершиною якої є точка $${O^{\prime}}(-2;-1)$$. Вона направлена у від’ємному напрямі осі $${O^{\prime}}{x^{\prime}}$$ і симетрична відносно цієї осі.
Величина $$p=\frac{5}{6},\;p>0$$. Тому фокус має нові координати:
$${x^{\prime}}=-\frac{p}{2}=-\frac{5}{12},\;{y^{\prime}}=0$$. Тобто $$F'(-\frac{5}{12};0)$$.
Його старі координати:
$$x={x^{\prime}}-2=-\frac{5}{12}-2=-\frac{29}{12},\;y={y^{\prime}}-1=0-1=-1\Rightarrow F(-\frac{29}{12};-1).$$
Якщо в даному рівнянні покласти $$y=0$$ або $$x=0$$, то виявиться, що парабола перетинає вісь $$OX$$ в точці $$x_1=-\frac{13}{5}=-2.6$$, а вісь $$OY$$ вона не перетинає.
Зробимо відповідний рисунок
