Аналитическая геометрия

Задание 23 (Найпростіший вид лінії другого порядку)

Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку 3y^2+5x+6y+13=0. Визначити вид і розташування лінії, знайти координати фокуса.

Пропонуємо згадати теорію теорію: Рівняння кривих другого порядку. Коло, Еліпс; Гіпербола; Парабола; Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду.

Подивіться інші приклади приведення до канонічного виду: Коло; Еліпс; Гіпербола.

Розв’язування.

Тому що член з x^2 відсутній, виділення повного квадрата здійснюємо лише для змінної y:

3(y+1)^2+5x+10=0.

Виносимо також за дужку коефіцієнт при x:

3(y+1)^2+5(x+2)=0.

Позначаємо

\left\{\begin{matrix} x' & = & x & + & 2\\ y' & = & y & + & 1 \end{matrix}\right.  або \left\{\begin{matrix} x & = & x' & - & 2\\ y & = & y' & - & 1 \end{matrix}\right.

Таким чином, здійснюється паралельний перенос системи координат в точку O'(-2;-1). В наслідок переносу рівняння набуває виду

3y'^2+5x'=0,  або y'^2=-\frac{5}{3}x'.

Звідси слідує, що дана лінія є парабола, вершиною якої є точка O'(-2;-1). Вона направлена у від’ємному напрямі осі O'X' і симетрична відносно цієї осі. Величина p=\frac{5}{6},\;p>0. Тому фокус має нові координати:

x'=-\frac{p}{2}=-\frac{5}{12},\;y'=0. Тобто F'(-\frac{5}{12};0).

Його старі координати:

x=x'-2=-\frac{5}{12}-2=-\frac{29}{12},\;y=y'-1=0-1=-1\Rightarrow F(-\frac{29}{12};-1).

Якщо в даному рівнянні покласти y=0 або x=0, то виявиться, що парабола перетинає вісь OX в точці x_1=-\frac{13}{5}=-2.6, а вісь OY вона не перетинає.

Зробимо відповідний рисунок

Паралельний перенос параболи

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!