Алгебра

Задание 3 (формулы сокращенного умножения, степени)

Упростить выражение:

$$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}$$

Решение:

Рекомендуем ознакомиться с материалами по теме: Формулы сокращенного умножения, Степени и их свойства.

$$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}=$$

$$=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}+1-1=$$

$$=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-((2^{16})^2-1^2)-1=$$

$$=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-(2^{16}+1)(2^{16}-1)-1=$$

$$=(2^{16}+1)\left [(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)-((2^{8})^2-1^2) \right ]-1=$$

$$=(2^{16}+1)(2^8+1)\left [(2+1)(2^2+1)(2^4+1)-((2^{4})^2-1^2) \right ]-1=$$

$$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)\left [(2+1)(2^2+1)-((2^{2})^2-1^2) \right ]-1=$$

$$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)\left [(2+1)-(2^2-1^2) \right ]-1=$$

$$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)\left [1-(2-1) \right ]-1=$$

$$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)\cdot0-1=0-1=-1$$

При решении использованы следующие преобразования:

$$1^2=1$$

$$(2^8)^2-1^2=(2^8+1)(2^8-1)$$

$$(2^4)^2-1^2=(2^4+1)(2^4-1)$$

$$(2^2)^2-1^2=(2^2+1)(2^2-1)$$

$$2^2-1^2=(2+1)(2-1)$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!