Тригонометрия

Задание 30 (найти значение разности арктангенсов)

В рамках подготовки учеников 11 класса к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) предлагаем задание на вычисление значения разности арктангенсов.

Сначала рекомендуем вспомнить необходимые теоретические материалы по теме: тригонометрические функции суммы и разности угловсвойства обратных тригонометрических функций, значения обратных тригонометрических функций, решение простейших тригонометрических уравнений.

Задание

Найти значение выражения

\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})-\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}

Решение:

Обозначим значение выражения через x

\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})-\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}=x,\;x\in\left ( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right )

Возьмем тангенс от левой и правой части равенства

\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2}) -\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right )=\textup{tg}\,x

Воспользуемся формулой тангенса разности углов

\frac{\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})\right )-\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right )}{1+\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})\right )\cdot \textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right )}=\textup{tg}\,x

Упростим числитель и знаменатель дроби, используя свойство арктангенса

\frac{3+2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+(3+2\sqrt{2})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\textup{tg}\,x

\frac{\left (6+4\sqrt{2}-\sqrt{2} \right )\cdot2}{2\cdot(2+3\sqrt{2}+4)}=\textup{tg}\,x

\frac{6+3\sqrt{2}}{6+3\sqrt{2}}=\textup{tg}\,x

\textup{tg}\,x=1

Решением полученного простейшего тригонометрического уравнения, будет

x=\frac{\pi}{4}

Ответ:  \frac{\pi}{4}.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!