Задание 30 (найти значение разности арктангенсов)

Задание 30 (найти значение разности арктангенсов)

03.03.2013/в Различные задания /от Сергей

В рамках подготовки учеников 11 класса к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) предлагаем задание на вычисление значения разности арктангенсов.

Сначала рекомендуем вспомнить необходимые теоретические материалы по теме: тригонометрические функции суммы и разности углов, свойства обратных тригонометрических функций, значения обратных тригонометрических функций, решение простейших тригонометрических уравнений.

Задание

Найти значение выражения

$\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})-\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решение:

Обозначим значение выражения через $x$

$\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})-\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}=x,\;x\in\left ( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right )$

Возьмем тангенс от левой и правой части равенства

$\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2}) -\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right )=\textup{tg}\,x$

Воспользуемся формулой тангенса разности углов

$\frac{\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})\right )-\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right )}{1+\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})\right )\cdot \textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right )}=\textup{tg}\,x$

Упростим числитель и знаменатель дроби, используя свойство арктангенса

$\frac{3+2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+(3+2\sqrt{2})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\textup{tg}\,x$

$\frac{\left (6+4\sqrt{2}-\sqrt{2} \right )\cdot2}{2\cdot(2+3\sqrt{2}+4)}=\textup{tg}\,x$

$\frac{6+3\sqrt{2}}{6+3\sqrt{2}}=\textup{tg}\,x$

$\textup{tg}\,x=1$

Решением полученного простейшего тригонометрического уравнения, будет

$x=\frac{\pi}{4}$

Ответ: $\frac{\pi}{4}$ .

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Полный текст доступен только по подписке!

ПОДПИСАТЬСЯ