В рамках подготовки учеников 11 класса к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) предлагаем задание на вычисление значения разности арктангенсов.
Сначала рекомендуем вспомнить необходимые теоретические материалы по теме: тригонометрические функции суммы и разности углов, свойства обратных тригонометрических функций, значения обратных тригонометрических функций, решение простейших тригонометрических уравнений.
Задание
Найти значение выражения
$$\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})-\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Решение:
Обозначим значение выражения через $$x$$
$$\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})-\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}=x,\;x\in\left ( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right )$$
Возьмем тангенс от левой и правой части равенства
$$\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2}) -\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right )=\textup{tg}\,x$$
Воспользуемся формулой тангенса разности углов
$$\frac{\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})\right )-\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right )}{1+\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})\right )\cdot \textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right )}=\textup{tg}\,x$$
Упростим числитель и знаменатель дроби, используя свойство арктангенса
$$\frac{3+2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+(3+2\sqrt{2})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\textup{tg}\,x$$
$$\frac{\left (6+4\sqrt{2}-\sqrt{2} \right )\cdot2}{2\cdot(2+3\sqrt{2}+4)}=\textup{tg}\,x$$
$$\frac{6+3\sqrt{2}}{6+3\sqrt{2}}=\textup{tg}\,x$$
$$\textup{tg}\,x=1$$
Решением полученного простейшего тригонометрического уравнения, будет
$$x=\frac{\pi}{4}$$
Ответ: $$\frac{\pi}{4}$$.