Алгебра

Задание 36 (ЕГЭ. B12 №27970)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем Вашему вниманию задание, являющееся прототипом задания B12 №27970 на ЕГЭ.

Задание

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см. Расстояние d_1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d_2 от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Так как фокусное расстояние f=30 см, то

\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{30} или \frac{1}{d_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{d_2}

Наименьшему возможному расстоянию от линзы до лампочки, т.е. значению d_1\in[30;50], соответствует наибольшее значение левой части полученного равенства, и, соответственно, наибольшее возможное значение правой части этого же равенства.

Разность \frac{1}{30}-\frac{1}{d_2} будет наибольшей при наименьшем значении вычитаемого \frac{1}{d_2}, которое, в свою очередь, достигается при наибольшем возможном значении знаменателя d_2\in[150;180].

Значит d_2=180 см. Подставим его в наше равенство

\frac{1}{d_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{180}

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю {НОК(30; 180) = 180}

\frac{1}{d_1}=\frac{5}{180}

Выразим d_1 из пропорции

d_1=\frac{180}{5}=36 (см)

d_1_{min}=36\in[30;50].

Ответ: 36 см.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!