В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем Вашему вниманию задание, являющееся прототипом задания B12 №27970 на ЕГЭ.
Задание
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см. Расстояние $$d_1$$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние $$d_2$$ от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$$. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.
Решение:
Так как фокусное расстояние $$f=30$$ см, то
$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{30}$$ или $$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{d_2}$$
Наименьшему возможному расстоянию от линзы до лампочки, т.е. значению $$d_1\in[30;50]$$, соответствует наибольшее значение левой части полученного равенства, и, соответственно, наибольшее возможное значение правой части этого же равенства.
Разность $$\frac{1}{30}-\frac{1}{d_2}$$ будет наибольшей при наименьшем значении вычитаемого $$\frac{1}{d_2}$$, которое, в свою очередь, достигается при наибольшем возможном значении знаменателя $$d_2\in[150;180]$$.
Значит $$d_2=180$$ см. Подставим его в наше равенство
$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{180}$$
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю НОК$$(30; 180) = 180$$
$$\frac{1}{d_1}=\frac{5}{180}$$
Выразим $$d_1$$ из пропорции
$$d_1=\frac{180}{5}=36$$ (см)
$${d_1}_{min}=36 \in[30;50]$$.
Ответ: 36 см.