В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем Вашему вниманию задание на нахождение значения выражения. При решении задания будут использоваться свойства степеней, формулы сокращенного умножения и формула суммы геометрической прогрессии.
Задание
Найти значение выражения
$$\frac{x^{3333}+x^{333}+x^{33}+x^3+1996}{x^2+x}$$, если $$x^2+x+1=0$$.
Решение:
$$\frac{x^{3333}+x^{333}+x^{33}+x^3+1996}{x^2+x}=$$
преобразуем степени
$$=\frac{x^{3\cdot1111}+x^{3\cdot111}+x^{3\cdot11}+x^3+1996}{x^2+x}=$$
вычтем и прибавим единицы
$$=\frac{x^{3\cdot1111}-1+1+x^{3\cdot111}-1+1+x^{3\cdot11}-1+1+x^3-1+1+1996}{x^2+x}=$$
сгруппируем
$$=\frac{\left (x^{3\cdot1111}-1 \right )+\left (x^{3\cdot111}-1 \right )+\left (x^{3\cdot11}-1 \right )+\left (x^3-1 \right )+2000}{x^2+x}$$.
Рассмотрим геометрическую прогрессию: $$1;x^3;x^6;x^9;\cdots;x^{3n-3};x^{3n};x^{3n+3}\cdots$$
с первым членом $$b_1=1$$, знаменателем $$q=x^3$$ и n-м членом $$b_n=x^{3(n-1)}$$.
Вспомним формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$
Тогда
$$S_{11}=\frac{1\left [\left (x^{3} \right )^{11}-1 \right ]}{x^3-1}=\frac{x^{3\cdot11}-1}{x^3-1}\Rightarrow x^{3\cdot11}-1=S_{11}\cdot(x^3-1)$$
$$S_{111}=\frac{1\left [\left (x^{3} \right )^{111}-1 \right ]}{x^3-1}=\frac{x^{3\cdot111}-1}{x^3-1}\Rightarrow x^{3\cdot111}-1=S_{111}\cdot(x^3-1)$$
$$S_{1111}=\frac{1\left [\left (x^{3} \right )^{1111}-1 \right ]}{x^3-1}=\frac{x^{3\cdot1111}-1}{x^3-1}\Rightarrow x^{3\cdot1111}-1=S_{1111}\cdot(x^3-1)$$
Подставим в искомое выражение
$$\frac{\left (x^{3\cdot1111}-1 \right )+\left (x^{3\cdot111}-1 \right )+\left (x^{3\cdot11}-1 \right )+\left (x^3-1 \right )+2000}{x^2+x}=$$
$$=\frac{S_{1111}\cdot(x^3-1)+S_{111}\cdot(x^3-1)+S_{11}\cdot(x^3-1)+(x^3-1)+2000}{x^2+x}=$$
$$=\frac{(x^3-1)(S_{1111}+S_{111}+S_{11}+1)+2000}{x^2+x}=$$
Вспомним формулу разности кубов
$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$
Так как $$x^2+x+1=0$$, то $$x^3-1=0$$ и $$x^2+x=-1$$. Тогда исходное выражение примет вид
$$=\frac{0\cdot(S_{1111}+S_{111}+S_{11}+1)+2000}{-1}=-2000$$
Ответ:$$-2000$$.