В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем геометрическую задачу, взятую из пособия “Алгебра і початки аналізу: навч. посіб. / О.М. Роганін. – К. – Х.: Веста, 2011. – 256 с. – (Серія “Ґрунтовна підготовка до ЗНО і ДПА за 50 тижнів”).
ISBN 978-966-08-5721-6″
Задача
Відрізок KM довжиною 8.25 см сполучає сторони АС і ВС трикутника АВС, паралельний стороні АВ і проходить через центр вписаного в трикутник кола. Знайдіть периметр (у см) чотирикутника АВМК, якщо АВ = 11 см.
Решение:
Пусть $$O$$ – центр вписанной в треугольник окружности, $$D, E$$ и $$F$$ – точки касания окружности соответственно сторон $$AB, AC$$ и $$BC$$.
Периметр четырехугольника $$ABMK$$ – сумма всех его сторон
$$P_{ABMK}=AB+BM+KM+AK=$$
Подставим известные величины и выразим $$BM$$ и $$AK$$ соответственно через $$BM, MF$$ и $$AE, KE$$
$$=11+(BF-MF)+8.25+(AE-KE)=$$
Так как $$BF = BD$$ и $$AE = AD,$$ то
$$=19.25+(BD-MF)+(AD-KE)=$$
Перегруппируем
$$=19.25+(AD+BD)-(MF+KE)=$$
$$=19.25+AB-(MF+KE)=30.25-(MF+KE)=$$
Из точек $$K$$ и $$M$$ опустим перпендикуляры на сторону $$AB$$, т.е. $$KG\perp AB,\;MH\perp AB.$$
$$\triangle OKE=\triangle KAG,\;\triangle OMF=\triangle MBH:$$ $$KE=AG,\;MF=BH$$
$$=30.25-(AG+BH)=30.25-(AB-KM)=30.25-(11-8.25)=27.5$$
Получили $$P_{ABMK}=27.5$$ (см)
Ответ: $$27.5$$ см.