В рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) предлагаем Вашему вниманию текстовую задачу, взятую из первого варианта ДПА 2013 по математике для 9 класса.
Задача
Разность половины первого числа и трети второго числа равна 2. Если же первое число уменьшить на его четвертую часть, а второе число увеличить на шестую его часть, то сумма полученных чисел будет равна 53. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть $$x$$ и $$y$$ – первое и второе искомое число соответственно.
По условию разность половины первого числа и трети второго числа равна 2, т.е.
$$\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=2$$.
Так как сумма уменьшенного на четверть первого числа и увеличенного на шестую часть второго числа равна 53, то
$$\left (x-\frac{x}{4} \right )+\left (y+\frac{y}{6} \right )=53$$.
Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными
$$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2}&-&\frac{y}{3}&=&2\\ \\\left (x-\frac{x}{4} \right )&+&\left (y+\frac{y}{6} \right )&=&53 \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}x&-&\frac{1}{3}y&=&2&(1)\\ \\ \frac{3}{4}x &+&\frac{7}{6}y&=&53 &(2)\end{matrix}\right.$$
От второго уравнения вычтем первое, умноженное на три вторых, т.е. $$(2)-\frac{3}{2}\cdot(1):$$
$$\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}x+\frac{7}{6}y-\left ( -\frac{1}{3}y\cdot\frac{3}{2} \right )=53-2\cdot\frac{3}{2}$$
$$\frac{7}{6}y+\frac{3}{6}y=53-3\Rightarrow \frac{10}{6}y=50\Rightarrow y=\frac{50\cdot6}{10}$$
$$y=30$$
Ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на семь вторых, т.е. $$(2)+\frac{7}{2}\cdot(1):$$
$$\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}x+\frac{7}{6}y-\frac{7}{6}y=53+7$$
$$\frac{10}{4}x=60$$
$$x=24$$
Ответ: 24 и 30.