Задание 47

Тождественные преобразования

Упростить выражение $$\frac{x^3y-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-zx^3}{x^2y-xy^2+y^2z-yz^2+z^2x-zx^2}$$ и найти его значение, если $$x=1,$$ $$y=0.1,$$ $$z=0.01.$$

Решение

Преобразование числителя

Рассмотрим числитель дроби $$x^3y-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-zx^3$$

Преобразуем его. Сначала упорядочим многочлен по степеням переменной $$x$$

$$x^3y-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-zx^3=x^3y-zx^3-xy^3+z^3x+y^3z-yz^3=$$

Вынесем общие множители за скобки

$$=x^3(y-z)-x(y^3-z^3)+yz(y^2-z^2)=$$

Воспользуемся формулами разности кубов и разности квадратов

$$=x^3(y-z)-x(y-z)(y^2+z^2+yz)+yz(y-z)(y+z)=$$

Вынесем общий множитель за скобки

$$=(y-z)[x^3-x(y^2+z^2+yz)+yz(y+z)]=$$

$$=(y-z)[x^3-xy^2-xz^2-xyz+y^2z+yz^2]=$$

Во второй скобке упорядочим по степеням переменной $$y$$

$$=(y-z)[y^2z-xy^2+yz^2-xyz+x^3-xz^2]=$$

Вынесем общие множители в квадратных скобках

$$=(y-z)[y^2(z-x)+yz(z-x)-x(z^2-x^2)]=$$

Воспользуемся формулой разности квадратов и вынесем общие множители за скобки

$$=(y-z)(z-x)[y^2+yz-x(z+x)]=$$

$$=(y-z)(z-x)[y^2+yz-xz-x^2]=$$

Перегруппируем одночлены в квадратных скобках

$$=(y-z)(z-x)[y^2-x^2+yz-xz]=$$

Воспользуемся формулой разности квадратов и вынесем общие множители за скобки

$$=(y-z)(z-x)[(y-x)(y+x)+z(y-x)]=(y-z)(z-x)(y-x)(x+y+z)$$

Преобразование знаменателя

Теперь преобразуем знаменатель дроби $$x^2y-xy^2+y^2z-yz^2+z^2x-zx^2.$$ Для этого прибавим и вычтем одночлен $$xyz.$$

$$x^2y-xy^2+y^2z-xyz+xyz-yz^2+z^2x-zx^2=$$

$$=(x^2y-xy^2+y^2z-xyz)+(xyz-yz^2+z^2x-zx^2)=$$

Вынесем общие множители за скобки

$$y(x^2-xy+yz-xz)-z(-xy+yz-zx+x^2)=$$

Очевидно, в скобках одинаковые полиномы. Вынесем их за скобки

$$(x^2-xy+yz-xz)(y-z)=$$

Сгруппируем и вынесем общие множители за скобки

$$[x(x-y)-z(x-y)](y-z)=(x-y)(x-z)(y-z)$$

Упрощение дроби и нахождение значения выражения

Итак, после преобразования числителя и знаменателя дроби, получим

$$\frac{(y-z)(z-x)(y-x)(x+y+z)}{(x-y)(x-z)(y-z)}=\frac{(x-y)(x-z)(y-z)(x+y+z)}{(x-y)(x-z)(y-z)}=(x+y+z)$$

Подставим значение переменных и получим

$$1+0.1+0.01=1.11$$

Ответ: $$1.11$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

Теги: