Свойства логарифмов
Найти значение выражения
$$(\log_{5}2+\log_{2}5+2)(\log_{5}2-\lg2)\cdot\log_{2}5-\log_{5}2.$$
Решение
Воспользуйтесь свойствами логарифмов
$$(\log_{5}2+\log_{2}5+2)(\log_{5}2-\lg2)\cdot\log_{2}5-\log_{5}2=$$
$$=(\log_{5}2\cdot\log_{2}5+(\log_{2}5)^2+2\log_{2}5)(\log_{5}2-\lg2)-\log_{5}2=$$
$$=(\log_{2}5+1)^2(\log_{5}2-\lg2)-\log_{5}2$$
1) $$\log_{2}5+1=\log_{2}5+\log_{2}2=\log_{2}10$$
2) $$\log_{5}2-\lg2=\frac{1}{\log_{2}5}-\frac{1}{\log_{2}10}=\frac{\log_{2}{2\cdot5}-\log_{2}5}{\log_{2}5\log_{2}10}=$$
$$=\frac{\log_{2}2+\log_{2}5-\log_{2}}{\log_{2}5\log_{2}10}=\frac{1}{\log_{2}5\log_{2}10}$$
3) $$(\log_{2}10)^2\cdot\frac{1}{\log_{2}5\log_{2}10}-\log_{5}2=\frac{\log_{2}10}{\log_{2}5}-\log_{5}2=$$
$$=\frac{\log_{2}2+\log_{2}5}{\log_{2}5}-\log_{5}2=\frac{1}{\log_{2}5}+1-\frac{1}{\log_{2}5}=1$$