Задание 50

Свойства логарифмов

Найти значение выражения

$$(\log_{5}2+\log_{2}5+2)(\log_{5}2-\lg2)\cdot\log_{2}5-\log_{5}2.$$

Решение

Примечание

Воспользуйтесь свойствами логарифмов

$$(\log_{5}2+\log_{2}5+2)(\log_{5}2-\lg2)\cdot\log_{2}5-\log_{5}2=$$

$$=(\log_{5}2\cdot\log_{2}5+(\log_{2}5)^2+2\log_{2}5)(\log_{5}2-\lg2)-\log_{5}2=$$

$$=(\log_{2}5+1)^2(\log_{5}2-\lg2)-\log_{5}2$$

1) $$\log_{2}5+1=\log_{2}5+\log_{2}2=\log_{2}10$$

2) $$\log_{5}2-\lg2=\frac{1}{\log_{2}5}-\frac{1}{\log_{2}10}=\frac{\log_{2}{2\cdot5}-\log_{2}5}{\log_{2}5\log_{2}10}=$$

$$=\frac{\log_{2}2+\log_{2}5-\log_{2}}{\log_{2}5\log_{2}10}=\frac{1}{\log_{2}5\log_{2}10}$$

3) $$(\log_{2}10)^2\cdot\frac{1}{\log_{2}5\log_{2}10}-\log_{5}2=\frac{\log_{2}10}{\log_{2}5}-\log_{5}2=$$

$$=\frac{\log_{2}2+\log_{2}5}{\log_{2}5}-\log_{5}2=\frac{1}{\log_{2}5}+1-\frac{1}{\log_{2}5}=1$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.