Задание 51

Логарифмическое неравенство

$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\frac{1}{2}$$

Решение

Примечание

Повторите материалы по теме: логарифмическая функция, свойства логарифмов.

$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\frac{1}{2}$$

ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix}x^2>0\\ x^2\neq1\\ \frac{2x}{x-3}>0\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}x\neq0\\ x\neq\pm1\\ x(x-3)>0\end{matrix}\right.$$

Метод интервалов

$$x\in(-\infty; -1)\cup(-1; 0)\cup(3;\infty)$$

Решим логарифмическое неравенство

$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\frac{1}{2}\log_{x^2}x^2$$

$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\log_{x^2}|x|$$

Рассмотрим 3 случая

1) $$x\in(-\infty; -1)$$ — основание больше 1, сохраняем знак неравенства

$$\frac{2x}{x-3}\leqslant -x$$

$$\frac{2x+x^2-3x}{x-3}\leqslant 0$$

$$\frac{x(x-1)}{x-3}\leqslant 0$$

Метод интервалов

$$x\in(-\infty; 0)\cup(1;3)$$

Учитывая интервал, на котором рассматривается решение, получаем $$x\in(-\infty; -1)$$

2) $$x\in(-1;0)$$ — основание между нулем и единицей, знак неравенства меняем на противоположный.

$$\frac{2x}{x-3}\geqslant -x$$

$$\frac{x(x-1)}{x-3}\geqslant 0$$ (см. рисунок из пункта 1)

$$x\in(0;1)\cup(3;\infty),$$ что не попадает в интервал, на котором рассматриваем решение, т.е. получили пустое множество.

3) $$x\in(3;\infty)$$ — основание больше единицы, знак неравенства сохраняем.

$$\frac{2x}{x-3}\leqslant x$$

$$\frac{2x-x^2+3x}{x-3}\leqslant 0$$

$$\frac{x(x-5)}{x-3}\geqslant 0$$

Метод интервалов

С учетом рассматриваемого для решения интервала, получим $$x\in[5;\infty)$$

Объединяя решения трех случаев, получим $$x\in(-\infty; -1)\cup[5;\infty)$$

Ответ: $$x\in(-\infty; -1)\cup[5;\infty)$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.