Задание 57

Решить уравнение $$\sin x\cdot \cos 2x=1$$.

Решение

$$\sin x (1-2\sin^2 x)=1$$

Раскроем скобки, перенесем все в левую сторону и сделаем замену $$\sin x=t$$, $$|t|\leqslant 1$$

$$2t^3-t+1=0$$ — уравнение с целыми коэффициентами

$$t=-1$$ — корень, так как $$2\cdot(-1)^3-(-1)+1=0$$

Используя схему Горнера, разложим на множители: $$(t+1)(2t^2-2t+1)=0$$

$$2t^2-2t+1=0$$

$$D_1=(-1)^2-2\cdot1=-1$$ — действительных корней нет.

Значит $$t=-1$$ — единственный корень.

Обратная замена: $$\sin x=-1$$ — частный случай простейшего тригонометрического уравнения.

$$x=-\frac{\Pi}{2}+2\Pi k$$, $$k\in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$-\frac{\Pi}{2}+2\Pi k$$, $$k\in \mathbb{Z}$$.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.