Сколько различных решений в зависимости от параметра $$a$$ имеет система уравнений
$$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a\\x=xy-a \end{matrix}\right.$$?
Решение
ОДЗ: $$x\neq 0$$
$$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a \\ y=\frac{a}{x}+1 \end{matrix}\right.$$
Левые части равны, приравняем правые части
$$x^2+a=\frac{a}{x}+1$$
$$x^2-\frac{a}{x}+a-1=0$$
$$x^3+(a-1)x-a=0$$
Очевидно, что корнем данного уравнения является $$x=1$$
$$1^3+(a-1)\cdot1-a=0$$
$$0=0$$ – верно
Воспользовавшись схемой Горнера получим:
$$(x-1)(x^2+x+a)=0$$
Решим $$x^2+x+a=0$$
$$D=1-4a$$
При $$D=0$$, т.е. при $$a=\frac{1}{4}$$ – два совпадающих действительных корня $$x=-\frac{1}{2}$$
И система имеет 2 решения: $$x=1$$ и $$x=-\frac{1}{2}$$
При $$D \gt 0$$, т.е. при $$0 \neq a \lt \frac{1}{4}$$ – два различных действительных корня $$x=-\frac{1}{2} \pm\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$
И система имеет три решения: $$x=1$$, $$x=-\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$ и $$x=-\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$
При $$D < 0$$, т.е. при $$a > \frac{1}{4}$$ уравнение не имеет действительных корней и система имеет одно решение $$x=1$$
При $$a=0$$ система имеет два решения $$x=1$$ и $$x=-1$$
Итак, система имеет
- одно решение при $$a\in(\frac{1}{4};\infty)$$
- два решения при $$a=0$$ и $$a=\frac{1}{4}$$
- три решения при $$a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac{1}{4})$$