Задание 60

Сколько различных решений в зависимости от параметра $$a$$ имеет система уравнений

$$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a\\x=xy-a \end{matrix}\right.$$?

Решение

ОДЗ: $$x\neq 0$$

$$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a \\ y=\frac{a}{x}+1 \end{matrix}\right.$$

Левые части равны, приравняем правые части

$$x^2+a=\frac{a}{x}+1$$

$$x^2-\frac{a}{x}+a-1=0$$

$$x^3+(a-1)x-a=0$$

Очевидно, что корнем данного уравнения является $$x=1$$

$$1^3+(a-1)\cdot1-a=0$$

$$0=0$$ — верно

Воспользовавшись схемой Горнера получим:

$$(x-1)(x^2+x+a)=0$$

Решим $$x^2+x+a=0$$

$$D=1-4a$$

При $$D=0$$, т.е. при $$a=\frac{1}{4}$$ — два совпадающих действительных корня $$x=-\frac{1}{2}$$

И система имеет 2 решения: $$x=1$$ и $$x=-\frac{1}{2}$$

При $$D \gt 0$$, т.е. при $$0 \neq a \lt \frac{1}{4}$$ — два различных действительных корня $$x=-\frac{1}{2} \pm\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$

И система имеет три решения: $$x=1$$, $$x=-\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$ и $$x=-\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$

При $$D < 0$$, т.е. при $$a > \frac{1}{4}$$ уравнение не имеет действительных корней и система имеет одно решение $$x=1$$

При $$a=0$$ система имеет два решения $$x=1$$ и $$x=-1$$

Итак, система имеет

  1. одно решение при $$a\in(\frac{1}{4};\infty)$$
  2. два решения при $$a=0$$ и $$a=\frac{1}{4}$$
  3. три решения при $$a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac{1}{4})$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.