Найдите все значения параметра $$p$$, при которых все корни уравнения
$$(p-3)x^2-2px+6p=0$$ положительны.
Решение
1) $$p=3$$
$$-6x+18=0$$
$$x=3 > 0$$
2) $$p\neq 3$$
Разделим на $$p-3$$
$$x^2-\frac{2p}{p-3}\cdot x+\frac{6p}{p-3}=0$$
Выделим полный квадрат в многочлене $$x^2-\frac{2p}{p-3}\cdot x+\frac{6p}{p-3}$$
$$[x^2-2\cdot\frac{p}{p-3}\cdot x+(\frac{p}{p-3})^2]-(\frac{p}{p-3})^2+\frac{6p}{p-3}=$$
$$=(x-\frac{p}{p-3})^2-(\frac{p}{p-3})^2+\frac{6p}{p-3}=(x-\frac{p}{p-3})^2+\frac{-p^2+6p^2-18p}{(p-3)^2}=$$
$$=(x-\frac{p}{p-3})^2+\frac{5p^2-18p}{(p-3)^2}$$
$$(x-\frac{p}{p-3})^2+\frac{5p^2-18p}{(p-3)^2}$$ – парабола, ветви которой направлены вверх, $$x_{\text{вершины}}=\frac{p}{p-3}$$, $$y_{\text{вершины}}=\frac{5p^2-18p}{(p-3)^2}$$.
Корни будут положительными, когда $$x_{\text{вершины}} > 0$$, $$y_{\text{вершины}} \leqslant 0$$ (парабола в правой полуплоскости, а точнее – вершина в IV четверти или на оси $$OX$$)
Решим эти неравенства
$$\frac{p}{p-3} > 0$$
Решая методом интервалов, получим $$p\in(-\infty;0)\cup(3;\infty)$$
$$\frac{5p^2-18p}{(p-3)^2} \leqslant 0$$
$$\frac{5p(p-\frac{18}{5})}{(p-3)^2}\leqslant 0$$
Умножим на $$(p-3)^3 > 0$$ и разделим на $$5 > 0$$
Получим эквивалентное неравенство
$$p(p-\frac{18}{5}) \leqslant 0$$
Решая его методом интервалов, получим $$p\in[0;3)\cup(3;3.6]$$
Пересекая $$p\in(-\infty;0)\cup(3;\infty)$$ и $$p\in[0;3)\cup(3;3.6]$$, получим $$p\in(3;3.6]$$
Найдем корни уравнения $$x^2-\frac{2p}{p-3}\cdot x+\frac{6p}{p-3}=0$$ и проверим их положительность
$$D_1=(\frac{p}{p-3})^2-\frac{6p}{p-3}=\frac{-5p^2+18p}{(p-3)^2}$$
Корни существуют при $$D_1 \geqslant 0$$, что совпадает с условием $$y_{\text{вершины}} \leqslant 0$$, а значит корни существуют при $$p\in(3;3.6]$$
$$x_{1,2}=\frac{p\pm\sqrt{18p-5p^2}}{p-3}$$
Очевидно, что при $$p\in(3;3.6]$$ $$0\leqslant\sqrt{5p(3.6-p)} < 3$$ Тогда $$\frac{p-\sqrt{18p-5p^2}}{p-3} > 0$$ и $$\frac{p+\sqrt{18p-5p^2}}{p-3} > 0$$
3) Итак, получили, что корни уравнения $$(p-3)x^2-2px+6p=0$$ положительны при $$p\in[3;3.6]$$
Ответ: $$p\in[3;3.6]$$