Площадь треугольника $$ABC$$ равна 4. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника $$ABC$$.
Решение
$$O$$ – точка пересечения медиан треугольника $$\triangle ABC$$. $$BK$$ – медиана из вершины $$B$$. Продолжим ее на отрезок, равный $$OK$$, то есть $$KD=OK$$. Получили параллелограмм $$AOCD$$, значит $$AO=DC$$. Так как медианы в точке пересечения делятся в отношении $$2:1$$, начиная от вершины, то стороны $$\triangle OCD$$ равны $$\frac{2}{3}$$ сторон треугольника, составленного из медиан $$\triangle ABC$$. Значит искомый треугольник подобен $$\triangle OCD$$ с коэффициентом подобия $$\frac{3}{2}$$, а его площадь $$S$$ равна $$\frac{9}{4}$$ площади $$\triangle OCD$$, то есть $$S=\frac{9}{4}S_{\triangle OCD}$$.
С другой стороны треугольник $$\triangle OCD$$ состоит из двух, а треугольник $$\triangle ABC$$ из шести треугольников, равновеликих (с такой же площадью) $$\triangle CKD$$.
Значит $$S_{\triangle OCD}=\frac{2}{6}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$$
Тогда $$S=\frac{9}{4}\cdot\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{4}S_{\triangle ABC}$$
Так как площадь $$S_{\triangle ABC}=4$$, то $$S=3$$
Ответ: 3.