Задание 63

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Решение

$$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ — куб со стороной, равной 1. $$AC_1$$ — диагональ куба.

Плоскость сечения фиксируется диагональю $$AC_1$$ и еще какой-либо точкой. Пусть это будет точка $$K\in BB_1$$, которая «бегает» по ребру $$BB_1$$. Таким образом сечение является параллелограммом $$AKC_1L$$.

Площадь параллелограмма можно найти разными способами, воспользуемся формулой $$S_{AKC_1L}=AK\cdot KC_1\cdot \sin \angle K$$.

Пусть $$B_1K=x$$, тогда $$0\leqslant x\leqslant 1$$ (ребро равно 1)

По теореме Пифагора из треугольника $$\triangle ABK$$: $$AK=\sqrt{1+(1-x)^2}$$

По теореме Пифагора из треугольника $$\triangle KB_1C_1$$: $$KC_1=\sqrt{1+x^2}$$

Рассмотрим треугольник $$\triangle AKC_1$$. По теореме косинусов $$C_1A^2=AK^2+C_1K^2-2\cdot AK\cdot C_1K \cos\angle K$$. Из треугольника $$\triangle ABC$$: $$AC=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$, из треугольника $$\triangle ACC_1$$: $$AC_1=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$$.

Тогда $$\cos\angle K=\frac{(1+x^2)+(1+(1-x)^2)-3}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}=$$

$$=\frac{1+x^2+1+1+x^2-2x-3}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}=\frac{2(x^2-x)}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}=$$

$$=\frac{x^2-x}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}$$

Из основного тригонометрического тождества найдем синус

$$\sin\angle K=\sqrt{1-\cos^2\angle K}=\sqrt{1-\frac{x^2-x}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}}=$$

$$=\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+1+x^2-2x)-(x^2-x)^2}{(1+x^2)(1+(1-x)^2)}}=$$

$$=\sqrt{\frac{2+x^2-2x+2x^2+x^4-2x^3-x^4-x^2+2x^3}{(1+x^2)(1+(1-x)^2)}}=$$

$$=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2-x+1}}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}$$

Тогда площадь сечения $$S=\frac{\sqrt{1+x^2}\cdot\sqrt{1+(1-x)^2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2-x+1}}{\sqrt{1+x^2}\cdot\sqrt{1+(1-x)^2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2-x+1}$$

$$S(x)=\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2-x+1}$$

Найдем производную $$S'(x)=\sqrt{2}\cdot\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$$

$$x^2-x+1\neq 0$$, так как $$D=1-4 < 0$$

$$S'(x)=0$$

$$2x-1=0$$

$$x=\frac{1}{2}$$ — точка экстремума

Подставим в функцию экстремальное значение и значения на концах отрезка $$[0;1]$$

$$S(0)=\sqrt{2}$$

$$S(\frac{1}{2})=\sqrt{2}\sqrt{(\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}+1}=\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$

$$S(1)=\sqrt{2}\sqrt{1^2-1+1}=\sqrt{2}$$

Таким образом получили минимальное значение площади $$S=\frac{\sqrt{6}}{2}$$ при $$x=\frac{1}{2}$$ (то есть $$K$$ — середина ребра $$BB_1$$ и сечение $$AKC_1L$$ — ромб) и максимальное значение площади $$S=\sqrt{2}$$ при $$x=0$$ (прямоугольное сечение $$AB_1C_1D$$) и при $$x=1$$ (прямоугольное сечение $$ABC_1D_1$$).

Ответ: $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.