Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.
Решение
$$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ – куб со стороной, равной 1. $$AC_1$$ – диагональ куба.
Плоскость сечения фиксируется диагональю $$AC_1$$ и еще какой-либо точкой. Пусть это будет точка $$K\in BB_1$$, которая “бегает” по ребру $$BB_1$$. Таким образом сечение является параллелограммом $$AKC_1L$$.
Площадь параллелограмма можно найти разными способами, воспользуемся формулой $$S_{AKC_1L}=AK\cdot KC_1\cdot \sin \angle K$$.
Пусть $$B_1K=x$$, тогда $$0\leqslant x\leqslant 1$$ (ребро равно 1)
По теореме Пифагора из треугольника $$\triangle ABK$$: $$AK=\sqrt{1+(1-x)^2}$$
По теореме Пифагора из треугольника $$\triangle KB_1C_1$$: $$KC_1=\sqrt{1+x^2}$$
Рассмотрим треугольник $$\triangle AKC_1$$. По теореме косинусов $$C_1A^2=AK^2+C_1K^2-2\cdot AK\cdot C_1K \cos\angle K$$. Из треугольника $$\triangle ABC$$: $$AC=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$, из треугольника $$\triangle ACC_1$$: $$AC_1=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$$.
Тогда $$\cos\angle K=\frac{(1+x^2)+(1+(1-x)^2)-3}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}=$$
$$=\frac{1+x^2+1+1+x^2-2x-3}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}=\frac{2(x^2-x)}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}=$$
$$=\frac{x^2-x}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}$$
Из основного тригонометрического тождества найдем синус
$$\sin\angle K=\sqrt{1-\cos^2\angle K}=\sqrt{1-\frac{x^2-x}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}}=$$
$$=\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+1+x^2-2x)-(x^2-x)^2}{(1+x^2)(1+(1-x)^2)}}=$$
$$=\sqrt{\frac{2+x^2-2x+2x^2+x^4-2x^3-x^4-x^2+2x^3}{(1+x^2)(1+(1-x)^2)}}=$$
$$=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2-x+1}}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}$$
Тогда площадь сечения $$S=\frac{\sqrt{1+x^2}\cdot\sqrt{1+(1-x)^2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2-x+1}}{\sqrt{1+x^2}\cdot\sqrt{1+(1-x)^2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2-x+1}$$
$$S(x)=\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2-x+1}$$
Найдем производную $$S'(x)=\sqrt{2}\cdot\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$$
$$x^2-x+1\neq 0$$, так как $$D=1-4 < 0$$
$$S'(x)=0$$
$$2x-1=0$$
$$x=\frac{1}{2}$$ – точка экстремума
Подставим в функцию экстремальное значение и значения на концах отрезка $$[0;1]$$
$$S(0)=\sqrt{2}$$
$$S(\frac{1}{2})=\sqrt{2}\sqrt{(\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}+1}=\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$S(1)=\sqrt{2}\sqrt{1^2-1+1}=\sqrt{2}$$
Таким образом получили минимальное значение площади $$S=\frac{\sqrt{6}}{2}$$ при $$x=\frac{1}{2}$$ (то есть $$K$$ – середина ребра $$BB_1$$ и сечение $$AKC_1L$$ – ромб) и максимальное значение площади $$S=\sqrt{2}$$ при $$x=0$$ (прямоугольное сечение $$AB_1C_1D$$) и при $$x=1$$ (прямоугольное сечение $$ABC_1D_1$$).
Ответ: $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$